Allgemeine Betrachtungen über Asymptotik

Zusammenfassung

Eine Funktion ist nur dann als definiert anzusehen, wenn es möglich ist, ihre Werte zu berechnen. Die ursprüngliche Definition, sei sie nun ein analytischer Ausdruck oder eine Beschreibung in Worten wie z. B. bei den zahlentheoretischen Funktionen*), ist häufig für die praktische Berechnung wenig geeignet und auch nicht in der Lage, Aufschluss über das allgemeine Verhalten der Funktion zu geben. Hier setzt die asymptotische Untersuchung ein, deren Bestreben dahin geht, elementarere und gut bekannte Funktionen ausfindig zu machen, mit denen sich die gegebene Funktion in einem bestimmten Sinn vergleichen lässt. Diese Vergleichsfunktionen geben einerseits ein anschauliches Bild von dem allgemeinen Verhalten der Funktion, andererseits gestatten sie, wenn für ihre Abweichung eine Abschätzung bekannt ist, den Wert der Funktion bis auf einen bestimmten Fehler zu berechnen. Dies ist bei analytischen Funktionen vor allem da wertvoll, wo die üblichen Darstellungen, z. B. durch konvergente Potenzreihen, versagen, nämlich in der Umgebung singulärer Stellen. Das Charakteristische einer Funktion spricht sich gerade in ihrem Verhalten an solchen Stellen aus, so dass man dieses in erster Linie beherrschen muss.