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Fixpunktsätze und Anwendungen

  • Jürg T. Marti
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 54)

Zusammenfassung

Konvexe kompakte Mengen X in topologischen Vektorräumen E haben die Eigenschaft, dass stetige Abbildungen f von X in sich mindestens einen Fixpunkt besitzen. Dies ist von grosser Bedeutung für die Anwendungen. Denn lineare oder nichtlineare Operatoren, also z.B. Integraloperatoren, sind im abstrakten Sinne oft einfach Abbildungen einer Teilmenge eines Funktionenraumes in sich. Da, wieder für das Beispiel eines Integraloperators, ein Fixpunkt des Operators nichts anderes ist als eine Lösung der entsprechenden Integralgleichung, kann man via Existenz von Fixpunkten Aussagen machen über die Existenz von Lösungen der Integralgleichung. Die Klärung von Existenzfragen beschränkt sich dabei aber nicht nur auf die Integralgleichungen, denn viele Differential- oder Integrodifferentialgleichungen lassen sich ja für das Aufsuchen einer Lösung in eine Integralgleichung umwandeln. Um dies auch in konkreten Fällen durchzuführen, werden in diesem Kapitel, nach der Herleitung der Fixpunktsätze, noch einige z.T. klassische Anwendungen eines Korollars des Fixpunktsatzes von Schauder-Tychonoff auf nichtlineare Differentialgleichungen behandelt. Das erste Beispiel stellt eine Verallgemeinerung des Existenzsatzes von Peano für Anfangswertprobleme vom Typ y′ = f(t, y) dar; das zweite beinhaltet ein Zweipunktrandwertproblem y″ = f(t, y, y′).

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Copyright information

© Springer Basel AG 1977

Authors and Affiliations

  • Jürg T. Marti
    • 1
  1. 1.Eidgenössischen TechnischenHochschule ZürichSchweiz

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