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Exponierte Punkte

  • Jürg T. Marti
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 54)

Zusammenfassung

Wir befassen uns in diesem und im nächsten Kapitel mit speziellen Stützpunkten einer konvexen Menge X. Die Untersuchung beginnen wir mit der Frage, ob es Stützpunkte x von X gibt, durch die man, geometrisch ausgedrückt, eine Hyperebene durchlegen kann, welche X nur im Punkt x trifft. Wir nennen diese Punkte exponierte Punkte und interessieren uns insbesondere für die Eigenschaften solcher Punkte. Im weiteren untersuchen wir auch, welche Zusammenhänge zwischen der Menge dieser Punkte und der Menge der extremen Punkte von X bestehen. Das wohl bedeutendste Resultat in diesem Kapitel ist der Satz von Straszewicz, welcher besagt, dass für abgeschlossene konvexe Teilmengen von R n die Menge der exponierten Punkte in der Menge der extremen Punkte dicht liegt. Damit erhält man eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman für kompakte konvexe Mengen X in R n , nämlich, dass die Menge X die abgeschlossene konvexe Hülle ihrer exponierten Punkte ist. Ferner stellt sich heraus, dass ein abgeschlossener konvexer Körper X genau dann strikt konvex ist, falls jeder Randpunkt von X ein exponierter Punkt von X ist. Eine besondere Rolle in der konvexen Analysis spielen die normierten Vektorräume, welche einen strikt konvexen Einheitsball besitzen, die strikt konvexen Vektoräume. Beispiele solcher Räume sind die Prähilberträume, die Banachräume l p und L p (S, Σ, μ) (1<p <∞), c 0 und l 1. Die soeben genannten Räume l p und L p (S, Σ, μ) sind sogar gleichmässig konvex (siehe Definition 3.3). Am Schluss des Kapitels wird noch der von D. P. Milman stammende Satz bewiesen, dass jeder gleichmässig konvexe Banachraum reflexiv ist.

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Copyright information

© Springer Basel AG 1977

Authors and Affiliations

  • Jürg T. Marti
    • 1
  1. 1.Eidgenössischen TechnischenHochschule ZürichSchweiz

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