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Stützpunkte

  • Jürg T. Marti
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 54)

Zusammenfassung

Es lohnt sich, das Phänomen der Stützpunkte einer konvexen Menge nicht nur in euklidischen Vektorräumen, sondern ganz allgemein in normierten Vektorräumen zu betrachten. Denn hier können Situationen auftreten, die wir mit unserer, im dreidimensionalen Raum gewonnenen, intuitiven Eerfahrung nicht mehr verstehen können. Es zeigt sich nämlich, dass es konvexe Mengen gibt, sogar kompakte und in separablen Hilberträumen, bei denen nicht jeder Randpunkt die Menge stützt. In anderen Worten, es gibt konvexe Mengen, bei denen sich nicht durch jeden Randpunkt eine Hyperebene legen lässt, welche die konvexe Menge und den Randpunkt trennt. Es gibt sogar nichtleere beschränkte abgeschlossene konvexe Mengen (z.B. in einem separablen Prähilbertraum), die überhaupt keine Stützpunkte besitzen! Anderseits ist (i) jeder Randpunkt eines abgeschlossenen konvexen Körpers X ein Stützpunkt von X, und (ii) in Banachräumen ist nach dem Satz von Bishop und Phelps wenigstens die Menge der Stützpunkte jeder abgeschlossenen konvexen Menge X dicht im Rand von X. Die Behauptung (i) gilt im euklidischen Vektorraum R n auch, falls das Innere von X leer ist. Eine Konsequenz des Satzes von Bishop und Phelps ist, dass jede abgeschlossene konvexe Menge in einem Banachraum Durchschnitt ihrer stützenden Halbräume ist. Ferner werden in Abschnitt 4 noch Bedingungen angegeben dafür, dass eine konvexe Menge ohne innere Punkte von jedem ihrer Randpunkte gestützt wird. Schliesslich wird in Abschnitt 5 der Zusammenhang zwischen Stützkegel und Normalenkegel von konvexen Mengen in Hilberträumen untersucht sowie bewiesen, dass jede abgeschlossene konvexe Menge in R n höchstens abzählbar viele Ecken besitzt.

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Copyright information

© Springer Basel AG 1977

Authors and Affiliations

  • Jürg T. Marti
    • 1
  1. 1.Eidgenössischen TechnischenHochschule ZürichSchweiz

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