Advertisement

Extrempunktsätze für C(S) und Anwendung auf die Approximationstheorie

  • Jürg T. Marti
Chapter
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 54)

Zusammenfassung

Eine der wichtigsten Mengen in der Analysis ist die Menge C(S) der stetigen reellen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffschen Raum S. Meistens wird C(S) mit der Supremumnorm versehen, was von den Anwendungen her gewünscht wird und für die Abgeschlossenheit der Theorie und die Schönheit der Resultate wohl auch notwendig ist. Mit dieser Norm ausgerüstet wird C(S) nicht nur ein Banachraum, sondern auch eine Banachalgebra und, unter natürlichen Voraussetzungen, ein Banachverband (vgl. Kapitel XIV: Anhang). Nach dem Darstellungssatz von F. Riesz (siehe z.B. in N. Dunford und J. T. Schwartz [1], Theorem IV.6.2) können die stetigen linearen Funktionale auf C(S) (auch Radonsche Masse genannt) als Integrale geschrieben werden, und der zu C(S) duale Banachraum kann topologisch charakterisiert werden als Banachraum der regulären beschränkten additiven Funktionen auf der durch die abgeschlossenen Teilmengen von S erzeugten (Booleschen) Algebra. Im weiteren gelingt es auch, die kompakten Mengen von C(S) durch sehr konkrete Stetigkeits-und Beschränktheitsaussagen zu charakterisieren (Satz von Arzelà-Ascoli, siehe z. B. in N. Dunford und J. T. Schwartz [1], Theorem IV.6.5). In einem gewissen Sinne ist, für S = [0, 1], C(S) unter allen anderen (separablen) Banachräumen universal, denn 1932 haben S. Banach und S. Mazur (S. Banach [1], Theorem XI.8.9) gezeigt, dass jeder separable Banachraum zu einem Teilraum von C[0, 1] isometrisch isomorph ist.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Copyright information

© Springer Basel AG 1977

Authors and Affiliations

  • Jürg T. Marti
    • 1
  1. 1.Eidgenössischen TechnischenHochschule ZürichSchweiz

Personalised recommendations