Extreme Punkte

Zusammenfassung

Ist X eine konvexe Menge in einem reellen Vektorraum, so gibt es Teilmengen Y von X so, dass conv Y = X. Bei einem Tetraeder oder Würfel X in R ³, um nur zwei einfache Beispiele zu nennen, kann Y offenbar die Menge der Ecken, die Menge der Ecken- und Kantenpunkte oder auch die Menge der Oberflächenpunkte sein. Natürlich ist die Menge Y für die Erzeugung von X als konvexe Hülle von Y um so nützlicher, je kleiner die Menge Y ist. Man sucht deshalb unter den Teilmengen von X eine solche, die möglichst klein ist. Bei topologischen Vektorräumen wird die Problemstellung, bedingt durch die Anwendungen, noch etwas geändert, indem man für kompakte konvexe Mengen X nach Teilmengen Y von X sucht, mit der Eigenschaft, dass $X = \overline {conv} \,Y$. In diesem Zusammenhang wurde schon 1911 von H. Minkowski [2] (S.157) der Begriff eines extremen Punktes einer Menge eingeführt. Die extremen Punkte einer Menge erwiesen sich in der Folge als sehr wichtig in der Analysis. Denn 1940 bewiesen M. Krein und D. Milman [1], dass X die abgeschlossene konvexe Hülle der Menge seiner extremen Punkte ist. Später wurde erkannt (Korollar 3.4), dass die Abschliessung der Menge der extremen Punkte von X die kleinste abgeschlossene Menge Y in X ist, für die $X = \overline {conv} \,Y$ Die Kompaktheit von X ist dabei eine notwendige Bedingung, denn ohne sie ist die Existenz von extremen Punkten von X nicht mehr gewährleistet.