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Der Raum der kompakten konvexen Teilmengen von Rn

  • Jürg T. Marti
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 54)

Zusammenfassung

Es erweist sich als sehr praktisch und auch interessant, auf der Menge F aller kompakten konvexen Teilmengen von R n eine Metrik d zu definieren, um die Konvergenz einer kompakten konvexen Teilmenge gegen eine andere solche Menge in den Griff zu bekommen. Die natürlichste Metrik, die man zu diesem Zweck einführen kann, ist wohl die 1927 von F. Hausdorff definierte und nun als Hausdorffsche Metrik bezeichnete Distanzfunktion, welche u.a. impliziert, dass eine Folge {X n } von Mengen in R n gegen eine Teilmenge X von R n konvergiert, falls es für jedes ε>0 ein m in N gibt so, dass X in einer ε-Umgebung von X n und X n wiederum in einer ε-Umgebung von X liegt, für alle n in N mit nm. Es stellt sich dann heraus, dass F, mit der Metrik d ausgerüstet, ein vollständiger lokalompakter metrischer Raum wird. Die Aussage der Lokalkompaktheit von F ist identisch mit dem bekannten Auswahistz von W. Blaschke: Jede beschränkte Folge in F besitzt eine in F konvergente Teilfolge. Der Satz weist in dieser Gestalt formal auf die Analogie mit dem Satz von Bolzano-Weierstrass für beschränkte Folgen in R n hin und erweist sich als nützliches Werkzeug für die Behandlung der Approximation von konvexen Mengen im nächsten Kapitel.

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Copyright information

© Springer Basel AG 1977

Authors and Affiliations

  • Jürg T. Marti
    • 1
  1. 1.Eidgenössischen TechnischenHochschule ZürichSchweiz

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