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Konvexe und sternförmige Mengen in Rn

  • Jürg T. Marti
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 54)

Zusammenfassung

Es gibt Eigenschaften von konvexen Mengen in R n , die sich kaum auf allgemeinere Vektorräume übertragen lassen, vor allem weil sie mit der endlichen Dimension des R n eng zusammenhängen. Es lohnt sich aber, einige dieser nur in R n gültigen Resultate zusammenzustellen, denn für die Anwendungen, z. B. in der numerischen Mathematik, sind diese von grosser Wichtigkeit. Der grundlegendste Satz über Mengen in R n ist wohl der Satz von Carathéodory. Dieser Satz besagt, dass sich jeder Punkt der konvexen Hülle einer beliebigen Menge in R n als konvexe Kombination von n +1 Elementen aus dieser Menge darstellen lässt. Eine wichtige Folgerung daraus ist, dass die konvexe Hülle einer kompakten Menge in R n wiederum kompakt ist. Ebenfalls auf dem Satz von Carathéodory, aufbauend, können Existenzaussagen über Lösungen von Systemen von linearen homogenen Ungleichungen gemacht werden (vgl. Satz 3.1). Im weiteren basiert auch der bekannte Satz von Helly auf Carathéodoris Resultat: Hat jede Teilfolge von n + 1 Elementen aus einer endlichen Folge {X 1,..., X m } von m(mn +1) konvexen Mengen aus R n einen gemeinsamen Punkt, so ist der Durchschnitt aller dieser Mengen nicht leer. Hellys Satz kann sehr schön für den Beweis von Kriterien für die Lösbarkeit von Systemen von Ungleichungen der Art f i (x)<0 bzw. f i (x)≤0, mit konvexen f i verwendet werden (vgl. Korollare 3.3 und 3.4). Nebst vielen anderen Anwendungen des Satzes von Helly (siehe u.a. bei den Aufgaben dieses Kapitels) kann z. B. der Satz von Kirchberger sehr elegant aus dem Hellyschen Satze hergeleitet werden: Zwei endliche Teilmengen X und Y von R n können genau dann durch Hyperebenen stark getrennt werden, falls dies, für jede Menge Z von n + 2 Punkten aus XY, für die Mengen ZX und ZY möglich ist.

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Copyright information

© Springer Basel AG 1977

Authors and Affiliations

  • Jürg T. Marti
    • 1
  1. 1.Eidgenössischen TechnischenHochschule ZürichSchweiz

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