Zusammenfassung
In zwei Notizen*, die kürzlich erschienen sind, habe ich Beispiele von überall stetigen Funktionen mitgeteilt, deren Fouriersche Reihe an einer Stelle divergiert. Bei der Konstruktion dieser Beispiele habe ich die sehr bemerkenswerten Betrachtungen von Herrn Lebesgue vor Augen gehabt, die er über diesen Gegenstand angestellt und in zwei kurzen Mitteilungen veröffentlicht hat.**
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Referenzen
Beispiele stetiger Funktionen mit divergenter Fourierreihe. Dieses Journal Bd. 137 (1909), S. 1. (Im folgenden kurz durch »Note I« zitiert.) Eine stetige Funktion, deren Fouriersche Reihe divergiert. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Tomo XXVIII (2° semestre, 1909), S. 402. (Im folgenden kurz durch »Note II« zitiert.)
Sur la divergence et la convergence non uniforme des séries de Fourier. Comptes rendus de PAcad. des sciences, Paris, 1905, II. semestre, pag. 875–877. Leçons sur les séries trigonométriques (Paris 1906), art. 45, 46, pag. 86–88. In bezug auf die Verallgemeinerung auf gewisse allgemeinere Orthogonalreihen verweise ich auf die inhaltsreiche Dissertation von Alfred Haar: Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. Göttingen, 1909. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. Göttingen, 1909.
Vgl. auch die soeben erschienene Arbeit von Lebesgue: Sur les intégrales singulières. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 3e Sér. T. I (1910), art. [33], [48].
Wahrscheinlich wachsen sie vom Beginne an. Wenn dies der Fall wäre, so wäre es wünschenswert, einen elementaren Beweis dafür zu geben, der sich vielleicht direkt auf die Formel (5), nicht aber auf den asymptotischen Ausdruck (17) dieser Zahl stützt.
Diesen Satz habe ich zuerst in meiner Arbeit: »Untersuchungen über Fouriersche Reihen« (Math. Annalen, Bd. 58, 1904, S. 60) bewiesen.
Ich bemerke, daß z. B. die arithmetischen Mittel der Partialsummen der Fourier-sehen Reihe von p n (x) zu diesem Zwecke besonders geeignet sind. (Vergl. z. B. § 1, Art. 3 dieser Arbeit.)
Über die Divergenz gewisser Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. Sitz, der bayer. Akademie, math.-phys. Kl. Bd. XXXI, Heft IV, 1901, S. 505–524.
»Über die Bestimmung asymptotischer Werte« (ungarisch), Math, és Term. Ertesitö, Bd. XXVII, 1909. Vgl. auch meine Note: Sur une méthode de M. Darboux. Comptes rendus de PAcad. des sciences. Paris. T. 147 (30 novembre 1908).
S. meine Note: Sur les fonctions bornées et intégrables, Comptes rendus de PAcad. des sciences. Paris, 10 décembre 1900, und meine früher zitierte Arbeit in den Math. Annalen Bd. 58, (1904).
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Turán, P. (1970). Lebesguesche Konstanten und Divergente Fourierreihen. In: Leopold Fejér Gesammelte Arbeiten I. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5902-8_35
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5902-8_35
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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Online ISBN: 978-3-0348-5902-8
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