Untersuchungen Über Fouriersche Reihen

Zusammenfassung

Es sei f(x) eine reelle Funktion der reellen Variabelen x mit der Periode 2π, welche überall stetig ist. Bekanntlich glaubte Dirichlet und wahrscheinlich auch noch Riemann, daß die zu f(x) gehörige Fourier sehe Reihe

$$\frac{1}{{2\;\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {f\left( \alpha \right)d\alpha + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {f\left( \alpha \right)\;\cos \;n\left( {\alpha - x} \right)dx} } \right]} } $$

((1))

überall konvergent sei. Du Boi s-Reymond zeigte, daß dies nicht der Fall ist, indem er eine überall stetige Funktion konstruierte, deren Fouriersche Reihe an überall dicht liegenden Stellen divergiert. Es bleibe nun dahingestellt, ob es stetige Funktionen gibt, deren Fourier sehe Reihe für jedes x divergiert* — jedenfalls können wir sagen: aus der bloßen Stetigkeit der Funktion an einer Stelle x folgt die Konvergenz der Fourier sehen Reihe an dieser Stelle noch nicht. Es müssen vielmehr noch für den Modus der Stetigkeit — wenn uns dieser Ausdruck gestattet ist — gewisse Beschränkungen hinzugezogen werden**, damit die Konvergenz der Reihe geéichert ist.