Lösungsschranken beim Differenzenverfahren zur Potentialgleichung

Zusammenfassung

Es soll eine Möglichkeit beschrieben werden, das Differenzenverfahren für Randwertaufgaben zur Differentialgleichung ΔU = o (mit zwei unabhängigen Veränderlichen) so zu modifizieren und auszubauen, daß es Schranken für die Lösung U liefert. An die Stelle der Differenzengleichungen treten dabei Ungleichungen, so daß im Grunde eine Optimierungsaufgabe zu lösen ist. Als hinreichende Bedingungen dafür, daß Lösungsschranken vorliegen, erhält man zunächst nichtlineare Ungleichungen, die zu linearen Ungleichungen vergröbert werden können. Dann ist prinzipiell die Anwendung des Simplexverfahrens möglich, jedoch vom Rechenaufwand her gesehen unzweckmäßig; auch sind die so erhaltenen Lösungsschranken verhältnismäßig grob. Bessere Ergebnisse bei geringerem Rechenaufwand verspricht ein iteratives Verfahren, das in §§ 10 bis 12 einschließlich der Anwendung auf Beispiele beschrieben wird und bei dem die ursprünglichen nichtlinearen Ungleichungen zugrunde gelegt werden. Konvergenzuntersuchungen zu diesem Verfahren liegen jedoch noch nicht vor.