Advertisement

Zusammenfassung

Es sei R ein normierter Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen und V eine nichtleere Teilmenge von R. Ein Element v 0 aus V heißt eine Minimallösung bezüglich V für ein Element / aus R, wenn jedes Element v aus V der Ungleichung ‖f-v o‖ ≦ ‖f-v\ genügt. Ausgangspunkt unserer Untersuchungen bildet ein stets hinreichendes Kriterium für eine Minimallösung. Dieses Kriterium wurde für die Approximation durch Elemente aus linearen Teilräumen V von Singer [18] angegeben. Jedoch ist der Singersche Beweis auch für beliebige Teilmengen V durchführbar. Da dieses Kriterium eine Verallgemeinerung des Kolmogoroffschen Kriteriums aus der Theorie der Tschebyscheff-Approximation ist, nennen wir es das verallgemeinerte Kolmogoroffsche Kriterium. Diese Kriterium ist auch eine stets notwendige Bedingung für die Approximation durch Elemente aus linearen Räumen (Singer [18], Choquet [7]) und aus konvexen Mengen (Garkavi [9], Havinson [10]). Jedoch ist dieses Kriterium im allgemeinen keine notwendige Bedingung. Wir beweisen in dieser Arbeit, daß das verallgemeinerte Kolmogoroffsche Kriterium genau dann für alle Minimallösungen bezüglich einer Teilmenge V eine notwendige Bedingung ist, wenn V eine a-Sonne ist. Ein ähnlicher Satz gilt für ß-Sonnen. Wir geben verschiedene Anwendungen und Beispiele und leiten u.a. eine stets notwendige Bedingung für eine Minimallösung ab. Wir untersuchen ferner die Frage der Charakterisierung einer Menge von Minimallösungen.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. [1]
    W. Breckner et I. Kolumban, Théorèmes de caractérisation des éléments de la meilleure approximation. C. R. Acad. Sci. Paris 226 (1968), 206–208.Google Scholar
  2. [2]
    W. Breckner und I. Kolumban, Über die Charakterisierung von Minimallösungen in linearen normierten Räumen. Mathematica (Cluj) 10 (1968), 33–46.Google Scholar
  3. [3]
    B. Brosowski, Einige Bemerkungen zum verallgemeinerten Kolmogoroffschen Kriterium. In: “Funktionalanalytische Methoden der numerischen Mathematik”. Birkhäuser, Basel. (Im Druck).Google Scholar
  4. [4]
    B. Brosowski, Reguläre Funktionensysteme in L p [a, b]. Séminaire d’Analyse Numérique, Grenoble 1967.Google Scholar
  5. [5]
    B. Brosowski, Nichtlineare Tschebyscheff-Approximation. B. I. Hochschulskripten 808/808a, Mannheim 1968.Google Scholar
  6. [6]
    B. Brosowski, Zur rationalen L p -Approximation. Z. Angew. Math. Mech. (Im Druck).Google Scholar
  7. [7]
    G. Choquet, Sur la meilleure approximation dans les espaces vectoriels normes. Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 8 (1963), 541–542.Google Scholar
  8. [8]
    A. Dubovitskii and A. Milyutin, Extremum problems in the presence of restrictions. U.S.S.R.Comp. Math, and Math. Phys. 5 (1965), 1–80.CrossRefGoogle Scholar
  9. [9]
    A. Garkavi, Über ein Kriterium für ein Element bester Approximation. (Russisch) Sibirsk. Mat. Z. 5 (1964), 472–476.Google Scholar
  10. [10]
    S. Havinson, Approximation by elements of convex sets. Soviet Math. Dokl. 8 (1967), 98–101.Google Scholar
  11. [11]
    Y. Ikebe, A characterization of best Tschebycheff approximations in function spaces. Proc. Japan. Acad. 44 (1968), 485–488.CrossRefGoogle Scholar
  12. [12]
    G. Köthe, Topologische lineare Räume 1. Springer, Berlin 1966.CrossRefGoogle Scholar
  13. [13]
    P. J. Laurent, Théorèmes de caractérisation en approximation convexe. Mathematica (Cluj) 10 (1967), 95–111.Google Scholar
  14. [14]
    C. Lobry, Etude géométrique des problems d’optimisation en presence de contrainte. Thèse, Grenoble 1967.Google Scholar
  15. [15]
    G. Meinardus, Approximation von Funtionen und ihre numerische Behandlung. Springer, Berlin 1964.CrossRefGoogle Scholar
  16. [16]
    J. Rice, On nonlinear L I approximation. Arch. Rational Mech. Anal. 17 (1967), 61–66.Google Scholar
  17. [17]
    I. Singer, Sur la meilleure approximation des fonctions abstraites continues à valeurs dans un espace de Banach. Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 2 (1957), 246–262.Google Scholar
  18. [18]
    I. Singer, Choquet spaces and best approximation. Math. Ann. 148 (1962), 330–340.CrossRefGoogle Scholar
  19. [19]
    L. P. Vlasov, Cebysev sets in Banach-spaces. Soviet Math. Dokl. 2 (1961), 1373–1374.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1969

Authors and Affiliations

  • Bruno Brosowski
    • 1
  1. 1.Max-Planck-Institut für Physik und AstrophysikMünchenDeutschland

Personalised recommendations