Einige Bemerkungen zum Verallgemeinerten Kolmogoroffschen Kriterium

Zusammenfassung

Es sei R ein normierter linearer Raum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen und V eine nichtleere Teilmenge von R. Ein Element v _o ∈ V heißt eine beste Approximierende für ein Element f ∈ R bezüglich V, wenn jedes Element v ∈ V der Ungleichung ∥f-v _o ∥ ≤ ∥ f - v ∥ genügt. Wir bezeichnen die Menge der besten Approximierenden für f mit P _V (f). Im folgenden wird ein stets hinreichendes und ein stets notwendiges Kriterium für eine beste Approxi -mierende bezüglich einer beliebigen Teilmenge V ⊂ R aufgestellt. Beide Kriterien verallgemeinern ein Ergebnis von A. N. KOLMOGOROFF [14]. Wir leiten ferner Bedingungen dafür her, daß diese Kriterien auch umkehrbar sind. Es zeigt sich, daß das stets hinreichende Kriterium dann und nur dann auch eine notwendige Bedingung ist, wenn die Menge der approximierenden Elemente eine Sonne bildet. Bevor wir das Approximations problem in normierten Räumen untersuchen, geben wir einen Überblick über die Verallgemeinerung des Kolmogoroffschen Kriteriums auf die nichtlineare Tschebyscheff-Approximation. Dabei beschränken wir uns der Einfachheit halber auf die Approximation reeller Funktionen. Für eine ausführliche Darstellung des Tschebyscheffschen Approximations problems bei Funktionen mit Werten in einem Prae-Hilbert-Raum sei auf B. BROSOWSKI [6] verwiesen.