Advertisement

Stetige und diskrete Funktionale konvexer Körper

  • Ulrich Betke
  • Jörg M. Wills
Chapter

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit gibt einen Überblick über ein Bindeglied zwischen Konvexgeometrie, diskreter Geometrie und Geometrie der Zahlen. Ist Ed der d-dimensionale euklidische Raum, Rd = {K ⊂ Ed/K kompakt und konvex} die Menge der konvexen Körper, Pd ⊂ Rd die Menge der konvexen Gitterpolytope (d.h. konvexe Hülle von Punkten aus ℤd), so interessieren Eigenschaften diskreter Funktionale auf Rd (bzw. Pd) wie z.B. Gitterpunktanzahl G(K) = card(K ∩ ℤd) sowie ihre Beziehungen zu stetigen Funktionalen wie Volumen V und Oberfläche F, aber auch Beziehungen diskreter Funktionale zueinander. Dies steht in Analogie zur Theorie der konvexen Körper, wo u.a. Eigenschaften stetiger Funktionale (z.B. Satz von Brunn-Minkowski) oder Beziehungen stetiger Funktionale zueinander (z.B. Isoperimetrie) untersucht werden.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. [la]
    Andrews, G.E.: An asymptotic expression for the number of solutions of a general class of Diophantine equations. Trans. Amer. Math. Soc. 99 (1961), 272–277.CrossRefGoogle Scholar
  2. [lb]
    Andrews, G.E.: A lower bound for the volume of strictly convex bodies with many boundary lattice points. Trans. Amer. Math. Soc. 106 (1963), 270–279.Google Scholar
  3. [2]
    Bender, E.A.: Area-perimeter relations for two-dimensional lattices. Am. Math. Monthly 69 (1962), 742–744.CrossRefGoogle Scholar
  4. [3]
    Bernstein, D.N.: The number of integral points in integral polyhedra. Funct. Anal. Appl. 10 (3) (1976), 223–224.CrossRefGoogle Scholar
  5. [4a]
    Betke, U.: Zu einem Abstandsintegral von Hadwiger. Arch. Math. 29 (1977), 208–209.CrossRefGoogle Scholar
  6. [4b]
    Betke, U.: Gitterpunkte und Gitterpunktfunktionale. In Vorbereitung.Google Scholar
  7. [5]
    Beukers, F.: The lattice points of n-dim. tetrahedra. Nederl. Akad. Wet. Proc., Ser. A 78 (1975), 365–372.Google Scholar
  8. [6a]
    Bokowski, J.: Obere Schranken zur Gitterpunktanzahl konvexer Körper. Dissertation TU Berlin 1973.Google Scholar
  9. [6b]
    Bokowski, J.: Gitterpunktanzahl und Parallelkörpervolumen von Eikörpern. Monatsh. Math. 79 (1975), 93–101.CrossRefGoogle Scholar
  10. [7]
    Bokowski, J., Hadwiger, H., Wills, J.M.: Eine Ungleichung zwischen Volumen, Oberfläche und Gitterpunktanzahl konvexer Körper im n-dimensionalen euklidischen Raum. Math. Z. 127 (1972), 363–364.CrossRefGoogle Scholar
  11. [8]
    Bokowski, J., Odlyzko, A.M.: Lattice points and the volume area ratio of convex bodies. Geometriae Dedicata 2 (1973), 249–254.CrossRefGoogle Scholar
  12. [9a]
    Bokowski, J. Wills, J.M.: Eine Ungleichung zwischen Volumen, Oberfläche und Gitterpunktanzahl konvexer Mengen im W. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 25 (1974), 7–13.CrossRefGoogle Scholar
  13. [9b]
    Bokowski, J., Wills, J.M.: Upper bounds for the number of lattice points of convex bodies, Am. Math. Monthly 81 (1974), 620–622.CrossRefGoogle Scholar
  14. [10a]
    Chaix, H.: Points extrémeaux d’un convexe compact de R“ appartenant à un réseau. Séminaire Delange–Pisot–Poitou 16 (1974), 26–1–9.Google Scholar
  15. [10b]
    Chaix, H.: Sur les points frontières… de F2. C.R. Acad. Sc. Paris 285 (1977), A887–889.Google Scholar
  16. [10c]
    Chaix, H.: Sur les points frontières des corps R-ronds de F3… C.R. Acad. Sc. Paris 286 (1978), Al-4.Google Scholar
  17. [1la]
    Chakerian, G.D.: Lattice points inside a convex body. L’Enseignment Math. (2) 20 (1974), 243–245.Google Scholar
  18. [11b]
    Chakerian, G.D., Groemer, H.: On convex bodies containing a given number of lattice points. J. Number theory 9 (1977), 240–246.CrossRefGoogle Scholar
  19. [12]
    Davenport, H.: On a principle of Lipschitz. J. London Math. Soc. 26 (1951), 179–183.CrossRefGoogle Scholar
  20. [13a]
    Divis, B.: On the lattice points on strictly convex surfaces. J. Number Theory 8 (1976), 298–307.CrossRefGoogle Scholar
  21. [13b]
    Divis, B.: Lattice points on convex curves. Monatsh. Math. 77 (1973), 389–395.CrossRefGoogle Scholar
  22. [13e]
    Divis, B.: Lattice point theory in Polyhedra, J. Number Theory 9 (1977), 426–435.CrossRefGoogle Scholar
  23. [14a]
    Ehrhart, E.: Sur un problème de géométrie diophantienne linéaire. J. reine angew. Math. 226 (1967), 1–29Google Scholar
  24. [14a]
    Ehrhart, E.: Sur un problème de géométrie diophantienne linéaire. J. reine angew. Math. 227 (1967), 25–49.Google Scholar
  25. [14b]
    Ehrhart, E.: Sur le nombre de solutions des systèmes diophantiens linéaires. Imprimé par l’U.E.R. de Mathématique de Strasbourg en 1972.Google Scholar
  26. [14e]
    Ehrhart, E.: Démonstration de la loi de réciprocité. C.R. Acad. Sc. Paris 265, 5–9, 91–94 (1967)Google Scholar
  27. [14e]
    Ehrhart, E.: Démonstration de la loi de réciprocité. C.R. Acad. Sc. Paris 266, 696–697 (1968).Google Scholar
  28. [14d]
    Ehrhart, E.: Une extension de la loi de réciprocité. C.R. Acad. Sc. Paris 277, 575–577 (1973).Google Scholar
  29. [14e]
    Ehrhart, E.: Calcul de la mesure d’un polyèdre entier par un décompte de points. C.R. Acad. Sc. Paris 258 (1964), 5131–5133.Google Scholar
  30. [14f]
    Ehrhart, E.: Polynômes arithmétiques et Méthode des Polyédres en Combinatoire. Birkhäuser Verlag, Basel 1977.Google Scholar
  31. [15]
    Gritzmann, P.: Obere Schranken für Gitterpunktanzahlen. In Vorbereitung.Google Scholar
  32. [16a]
    Groemer, H.: Eine Bemerkung über Gitterpunkte in ebenen konvexen Bereichen. Arch. Math. 10 (1959), 62–663.CrossRefGoogle Scholar
  33. [17a]
    Hadwiger, H.: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1957.CrossRefGoogle Scholar
  34. [17b]
    Hadwiger, H.: Überdeckung ebener Bereiche durch Kreise und Quadrate. Comm. Math. Helvetici 13 (1940), 195–200.CrossRefGoogle Scholar
  35. [17e]
    Hadwiger, H.: Über Gitter und Polyeder. Monatsh. Math. 57 (1954), 246–254.CrossRefGoogle Scholar
  36. [17d]
    Hadwiger, H.: Volumen und Oberfläche eines Eikörpers, der keine Gitterpunkte überdeckt. Math. Z. 116 (1970), 191–196.CrossRefGoogle Scholar
  37. [17e]
    Hadwiger, H.: Gitterperiodische Punktmengen und Isoperimetrie, Monatsh. Math. 76 (1972), 410–418.Google Scholar
  38. [17f]
    Hadwiger, H.: Das Wills’sche Funktional. Monatsh. Math. 79 (1975), 213–221.CrossRefGoogle Scholar
  39. [17g]
    Hadwiger, H.: Gitterpunktanzahl im Simplex und Wills’sche Vermutung. Math. Ann., 239 (1979) 271–288.CrossRefGoogle Scholar
  40. [18a]
    Hadwiger, H., Wills, J.M.: Über Eikörper und Gitterpunkte im gewöhnlichen Raum. Geometriae Dedicata 2 (1973), 255–260.CrossRefGoogle Scholar
  41. [18b]
    Hadwiger, H., Wills, J.M.: Gitterpunktanzahl konvexer Rotationskörper. Math. Annalen 208 (1974), 221–232.CrossRefGoogle Scholar
  42. [18e]
    Hadwiger, H., Wills, J.M.: Neuere Studien über Gitterpolygone. J. reine angew. Math. 280 (1975), 61–69.Google Scholar
  43. [19a]
    Hammer, J.: On a general area-perimeter relation for two-dimensional lattices. Am. Math. Monthly 71 (1964), 534–535.CrossRefGoogle Scholar
  44. [19b]
    Hammer, J.: Some relatives of Minkowski’s theorem for two-dimensional lattices. Am. Math. Monthly 73 (1966), 744–746.CrossRefGoogle Scholar
  45. [19e]
    Hammer, J.: Volume-surface area relations for n-dimensional lattices. Math. Z. 123 (1971), 219–222.CrossRefGoogle Scholar
  46. [19d]
    Hammer, J.: Unsolved problems concerning lattice points. Pitman, London 1977.Google Scholar
  47. [20]
    Höhne, R.: Gitterpunktanzahl und Parallelkörpervolumen von Eikörpern. In Vorbereitung.Google Scholar
  48. [21]
    Hoffmann, A.J., Kruskal, J.B.: Integral boundary points of Convex polyhedra. Ann. Math. Studies 38 (1956), 223–246.Google Scholar
  49. [22]
    Hofreiter, N.: Zur Geometrie der Zahlen. Monatsh. Math. Phys. 40–41 (1933), 181–192.Google Scholar
  50. [23]
    Krupizka, S.: Über die Anzahl der Gitterpunkte in mehrdimensionalen konvexen Körpern. Czech. Math. J. 7 (82) (1957), 524–552.Google Scholar
  51. [24]
    Lekkerkerker, C.G.: Geometry of numbers. Wolters-Noordhoff, Groningen 1969.Google Scholar
  52. [25]
    Lehmer, D.H.: The lattice of an n-dim. tetrahedron. Duke Math. J. 7 (1940), 341–353.Google Scholar
  53. [26a]
    McDonald, I.G.: The volume of a lattice polyhedron. Proc. Cambr. Phil. Soc. 59 (1963), 719–726.CrossRefGoogle Scholar
  54. [26b]
    MacDonald, I.G.: Polynomials associated with finite cell-complexes. J. London Math. Soc. (2) 4 (1971), 181–192.CrossRefGoogle Scholar
  55. [27a]
    McMullen, P.: Non-linear angle sum relations for polyhedral cones and polytopes. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 78 (1975), 247–261.CrossRefGoogle Scholar
  56. [27b]
    McMullen, P.: Valuations and Euler-type relations on certain classes of convex polytopes. Proc. London Math. Soc. 35 (3) (1977).Google Scholar
  57. [27c]
    McMullen, P.: Lattice invariant valuations on rational polytopes. Erscheint demnächst.Google Scholar
  58. [28]
    McMullen, P., Wills, J.M.: Zur Gitterpunktanzahl auf dem Rand konvexer Körper. Monatsh. Math. 77 (1973), 411–415.CrossRefGoogle Scholar
  59. [29]
    Minkowski, H.: Geometrie der Zahlen. Teubner, Leipzig (1910).Google Scholar
  60. [30a]
    Niven, I., Zuckerman, H.S.: Lattice point coverings by plane figures. Am. Math. Monthly 74 (1967), 353–362.CrossRefGoogle Scholar
  61. [30b]
    Niven, I., Zuckerman, H.S.: Lattice points and polygonal area. Am. Math. Monthly 74 (1967), 1195–1200.CrossRefGoogle Scholar
  62. [30c]
    Niven, I., Zuckerman, H.S.: Lattice points in regions. Proc. Am. Math. Soc. 18 (1967), 364–370.CrossRefGoogle Scholar
  63. [31]
    Nosarzewska, M.: Evaluation de la différence entre l’aire d’une région plane convexe et le nombre des points aux coordonnées entières couverts par elle. Coll. Math. 1 (1948), 305–311.Google Scholar
  64. [32]
    Odlyzko, A.M.: On lattice points inside convex bodies. Am. Math. Monthly 80 (1973), 915–918.CrossRefGoogle Scholar
  65. [33]
    Overhagen, T.: Zur Gitterpunktanzahl konvexer Körper im 3-dimensionalen euklidischen Raum. Math. Ann. 216 (1975), 217–224.CrossRefGoogle Scholar
  66. [34]
    Pick, G.: Geometrisches zur Zahlenlehre. Naturwiss. Z. Lotos, Prag 1899, 311–319.Google Scholar
  67. [35a]
    Reeve, J.E.: On the volume of lattice polyhedra. Proc. London Math. Soc. III, 7 (1957), 378–395.Google Scholar
  68. [35b]
    Reeve, J.E.: A further note on the volume of lattice polyhedra. J. London Math. Soc. 34 (1959), 57–62.CrossRefGoogle Scholar
  69. [36]
    Reich, S.: Two-dimensional lattices and convex domains. Math. Magazine 43 (1970), 219–220.CrossRefGoogle Scholar
  70. [37]
    Schark, R., Wills, J.M.: Translationen, Bewegungen und Gitterpunktanzahl konvexer Bereiche. Geometriae Dedicata 3 (1974), 251–256.CrossRefGoogle Scholar
  71. [38]
    Schmidt, W.M.: Volume, surface area and the number of integer points covered by a convex set. Arch. Math. 23 (1972), 537–543.CrossRefGoogle Scholar
  72. [39a]
    Scott, P.R.: An analogue of Minkowski’s theorem in the plane. J. London Math. Soc. (2) 8 (1974), 647–651.CrossRefGoogle Scholar
  73. [39b]
    Scott, P.R.: An area-perimeter problem. Am. Math. Monthly 81 (1974), 884–885.CrossRefGoogle Scholar
  74. [39c]
    Scott, P.R.: A lattice problem in the plane. Mathematika 20 (1973), 247–252.CrossRefGoogle Scholar
  75. [39d]
    Scott, P.R.: Area-diameter relations for two-dimensional lattices. Math. Mag. 47 (1974), 218–221.CrossRefGoogle Scholar
  76. [39e]
    Scott, P.R.: Convex bodies and lattice points. Math. Mag. 48 (1975), 110–112.CrossRefGoogle Scholar
  77. [39f]
    Scott, P.R.: On convex lattice polygons. Bull. Austral. Math. Soc. 15 (1976), 395–399.CrossRefGoogle Scholar
  78. [40a]
    Silver, M.: Über einige isoperimetrische Probleme. Dissertation Wien 1969.Google Scholar
  79. [40b]
    Silver, M.: On extremal figures admissible relative to rectangular lattices. Pacific J. Math. 40 (1972), 451–457.CrossRefGoogle Scholar
  80. [41]
    Spencer, D.C.: The lattice points of tetrahedra. J. Math. Phys. 21 (1942), 189–197.Google Scholar
  81. [42]
    Steinhaus, H.: Mathematical snapshots. Oxford University Press, New York 1950.Google Scholar
  82. [43]
    Warmus: Kurzmitteilung. Coll. Math. 1 (1947), 45–46.Google Scholar
  83. [44a]
    Wills, J.M.: Ein Satz über konvexe Mengen und Gitterpunkte. Monatsh. Math. 72 (1968), 451–463.CrossRefGoogle Scholar
  84. [44b]
    Wills, J.M.: Ein Satz über konvexe Körper und Gitterpunkte. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 35 (1970), 8–13.CrossRefGoogle Scholar
  85. [44c]
    Wills, J.M.: On lattice points and the volume-area ratio of convex bodies. Am. Math. Monthly 87 (1971), 47–49.CrossRefGoogle Scholar
  86. [44d]
    Wills, J.M.: Gitterpunkte und Volumen-Oberfläche-Verhältnis konvexer Mengen. Arch. Math. 22 (1971), 445–448.CrossRefGoogle Scholar
  87. [44e]
    Wills, J.M.: Über konvexe Gitterpolygone. Comm. Math. Helvetici 48 (1973), 188–194.CrossRefGoogle Scholar
  88. [44f]
    Wills, J.M.: Zur Gitterpunktanzahl konvexer Mengen. Elemente Math. 28 /3 (1973), 57–63.Google Scholar
  89. [44g]
    Wills, J.M.: Gitterzahlen und innere Volumina. Comment. Math. Helvetici 53 (1978), 508–524.CrossRefGoogle Scholar
  90. [45]
    Zaks, J.: On lattice points in convex bodies. Unpublished.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1979

Authors and Affiliations

  • Ulrich Betke
    • 1
  • Jörg M. Wills
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität SiegenSiegen 21Deutschland

Personalised recommendations