Abstract
The background of the subject of the lecture are classical results about approximation by holomorphic or harmonic functions. The special aspect here consists in the boundary conditions for the approximating functions, which are solutions of general elliptic equations in a bounded domain Ω. Among other things, approximation is studied in different function spaces on closed or non-closed surfaces within Ω, on general compact sets or on open subsets.
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References
Anger, G., Eindeutigkeitssätze und Approximationssätze für Potentiale II, Math. Nachr. 50 (1971), 229–244.
Babuska, I., Stability of the domain with respect to the fundamental problems in the theory of partial differential equations, mainly in connection with the theory of elasticity HI, Czechoslovak Math. J. 11 (86) (1961), 76–105 and 165–203.
Bagby T., L p -approximation by analytic functions, J. Approx. Theory 5 (1972), 401–404.
Beckert, H., Eine bemerkenswerte Eigenschaft der Lösungen des Dirichletschen Problems bei linearen elliptischen Differentialgleichungen, Math. Ann. 139 (1960), 255–264.
Brelot, M., Sur l’approximation et la convergence dans la théorie de fonctions harmoniques ou holomorphes, Bull. Soc. Math. France 73 (1945), 55–70.
Browder, F. E., Functional analysis and partial differential equations II, Math. Ann. 145 (1962), 81–226.
Browder, F. E., Approximation by solutions of partial differential equations. Amer. J. Math. 84 (1962), 134–160.
Deny, J., Sur l’approximation des fonctions harmoniques, Bull. Soc. Math. France 73 (1945), 71–73.
Goncar, A.A., On the uniform approximation of continuous functions by harmonic functions, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 27 (1963), 1239–1250.
Göpfert, A., Über L 2 -Approximationssätze — eine Eigenschaft der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, Math. Nachr. 31 (1966), 1–24.
Hamann, U., Approximation durch Lösungen allgemeiner elliptischer Randwertprobleme bei Gleichungen beliebiger Ordnung, Dissertation Wilhelm-Pieck-Universität, Rostock, 1986.
Hamann, U., Approximation durch Lösungen elliptischer Randwertprobleme auf geschlossenen Hyperflächen, Math. Nachr. 136 (1988), 285–301.
Hamann, U., Zum Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeitseigenschaft des Cauchy-Problems im Kleinen und der Approximation durch Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, Math. Nachr. 136 (1988), 303–306.
Hamann, U., Approximation durch Lösungen elliptischer Randwertprobleme auf kompakten Mengen mit leerem Innern, Math. Nachr. 143 (1989), 143–156.
Hamann, U., Approximation durch Lösungen elliptischer Randwertprobleme auf offenen Mengen I, II, to appear in Z. Anal. Anwendungen.
Hamann, U., Approximation mittels Linearkombinationen von Fundamentallösungen elliptischer Differentialoperatoren, to appear in Math. Nachr.
Hänler, M., Approximation durch Lösungen des Dirichlet-Problems in stabilen Gebieten, to appear in Math. Nachr.
Havin, V. P., Approximation in the mean by analytic functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR 178 (1968), 1025–1028.
Hedberg, L. I., Approximation in the mean by analytic functions, Trans. Amer. Math. Soc. 163 (1972), 157–171.
Hedberg, L. I., Non-linear potentials and approximation in the mean by analytic functions, Math. Z. 129 (1972), 299–319.
Hedberg, L. I., Spectral synthesis and stability in Sobolev spaces, in Lecture Notes in Math., vol. 779, Springer-Verlag, Berlin, 1980, 73–103.
Keldys, M. V., On the solvability and stability of the Dirichlet problem, Amer. Math. Soc. Translations (2) 51 (1966), 1–73.
Landkof, N.S., Foundations of Modern Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1972.
Mergeljan, S. N., On the completeness of systems of analytic functions. Amer. Math. Soc. Translations (2) 19 (1962), 106–166.
Polking. J. C., Approximation in L p by solutions of elliptic partial differential equations, Amer. J. Math. 94 (1972), 1231–1244.
Runge, C., Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, Acta Math. 6 (1885), 229–244.
Schulze, B.-W. and G. Wildenhain, Methoden der Potentialtheorie für elliptische Differentialgleichungen beliebiger Ordnung, Akademie-Verlag, Berlin, Birkhäuser-Verlag, Basel-Stuttgart, 1977.
Vituskin, A. G., Analytic capacity of sets in problems of approximation theory Russian. Math. Surveys 22 (1967), 139–200.
Wanka, G., Gleichmäßige Approximation durch Lösungen von Randwertproblemen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Beiträge zur Analysis 17 (1981), 19–29.
Wiener, N., Certain notions in potential theory, J. Math. Phys. MIT 3 (1924), 24–51.
Wiener, N., The Dirichlet problem, J. Math. Phys. MIT 3 (1924), 127–146.
Wildenhain, G., Uniform approximation by solutions of general boundary value problems for elliptic equations of arbitrary order I, II, Z. Anal. Anwendungen 2 (6) (1983), 511–521, Math. Nachr. 113 (1983), 225–235.
Wildenhain, G., Darstellungen von Lösungen linearer elliptischer Differentialgleichungen, Math. Forschung, Bd. 8, Akademie-Verlag, Berlin, 1981.
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© 1990 Springer Basel AG
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Hamann, U., Wildenhain, G. (1990). Approximation by Solutions of Elliptic Boundary Value Problems. In: Haußmann, W., Jetter, K. (eds) Multivariate Approximation and Interpolation. International Series of Numerical Mathematics / Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik / Série Internationale d’Analyse Numérique, vol 94. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5685-0_9
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5685-0_9
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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