Mehrfach scharf transitive Liesche Moufang-Loops

Zusammenfassung

Die Theorie der Transformationsgruppen wird in der Mathematik seit jeher betrieben und gehört heute zu einer der kräftigen mathematischen Adern. Dagegen steht man vor einem völligen Brachland, wenn man auf die Assoziativität verzichtet und Transformationsloops betrachten möchte. Nicht einmal eine Definition einer Transformationsloop scheint in der Literatur vorgeschlagen worden zu sein, obgleich jede Loop selbstverständlich zu einer scharf transitiven Transformationsloop wird, wenn man sie auf sich selbst mittels Rechts- bzw. Linkstranslationen operieren läßt. In diesem Vortrag wollen wir den Begriff einer Transformationsloop einführen und ihn auf seine Leistungsfähigkeit in einem (recht speziellen) Fall testen. Der Ausgangspunkt für unsere Betrachtungen war die schöne und relativ einfache Klassifikation scharf zweifach und scharf dreifach transitiver Transformationsgruppen auf lokal kompakten, nicht total unzusammenhängenden Räumen mit erstem Anzählbarkeitsaxiom, die von Freudenthal [1951] und Tits [1952], [1956] durchgeführt wurde. Für scharf zweifach transitive Gruppen G ergibit sich etwa, daß man solche Räume so zu lokal kompakten zusammenhängenden Fastkörpern F algebraisieren kann, daß G aus Abbildungen der Form x ↦ ax + b mit a ≠ 0,b ∈ F besteht und die Multiplikation G durch Hintereinanderausführung solcher Abbildungen beschrieben wird.