Limesräume

Zusammenfassung

Wir gehen im folgenden auf den wohl wichtigsten Begriff der Analysis, den Begriff der Konvergenz ein. Es ist für unsere Zwecke angebracht, ihn sehr allgemein zu fassen. Wir definieren Konvergenz axiomatisch mittels sogenannter Konvergenzstrukturen bzw. Limitierungen. Eine Limitierung einer Menge X ordnet jedem Element x von X eine Menge von Filtern in X zu, die als die gegen x konvergierenden Filter bezeichnet werden. Im allgemeinen verlangt man von den konvergenten Filtern gewisse Eigenschaften. Wir fordern, daß für jedes Element x von X die gegen x konvergierenden Filter ein ∧-Ideal bilden. Fordern wir noch, daß für beliebiges x ∈ X der aus x erzeugte Filter gegen x konvergiert, so bezeichnen wir die Limitierung als eine Pseudotopologie. Der Begriff der Pseudotopologie wurde zuerst von H. J. Kowalsky in [2] und von H. R. Fischer in [3] untersucht; die letztere Arbeit gab den Anstoß zu einer umfangreichen Entwicklung der Theorie der Limesräume. Einen Beitrag zu dieser Entwicklung liefert bereits die Arbeit [2] von G. Choquet. Bei den in ihr definierten „Pseudotopologien“ wird von vornherein nur die Konvergenz von Ultrafiltern festgelegt und die Konvergenz beliebiger Filter nachträglich erklärt. Die Pseudotopologien von Choquet sind äquivalent zu speziellen Pseudotopologien in unserem Sinne, zu sogenannten choquetschen Pseudotopologien. Für diese und allgemeiner für die choquetschen Limitierungen gelten wichtige auf die Kompaktheit bezogene Sätze. choquetsche pseudotopologische Räume wurden unter anderem von C. H. Cook [2], H. Poppe [5] und M. Simonnet [8] untersucht. Zum Teil (etwa von H. Poppe) werden sie in Anlehnung an den entsprechenden klassischeft Begriff als L*-Räume bezeichnet. Pseudotopologien in unserem Sinne werden in der Literatur in Abgrenzung zum Pseudotopologiebegriff von Choquet auch Quasitopologien genannt, häufig heißen sie auch einfach Limitierungen. Ein wichtiges Beispiel einer Limitierung in unserem Sinne, die im allgemeinen keine Pseudotopologie in unserem Sinne ist, ist die in Band 2 untersuchte Limitierung der stetigen Konvergenz.