Filtertheorie

Zusammenfassung

Im folgenden befassen wir uns mit einer Reihe grundlegender Begriffe, die für das Verständnis weiter Teile des Buches von Bedeutung sind. Zu ihnen zählt vor allem der von H. Cartan [1] eingeführte Begriff des Filters. Wir gehen zweckmäßigerweise von einem etwas allgemeineren Begriff, dem des ∧-Ideals, und einem dualen Begriff, dem des ∨-Ideals, aus. Diese Begriffe führen wir in Verbänden mit Null- und Einselement ein. Filter selbst sind ∧-Ideale im Teilmengenverband einer Menge. ∨-Ideale im Teilmengenverband einer Menge bezeichnen wir als Dualfilter. Zum Teil werden allgemein die ∧-Ideale Filter genannt (etwa von G. Nöbeling [1]), während ∨-Ideale auch einfach als Ideale bezeichnet werden. Als Ausgangsverbände treten unter anderem der Filter- und der Dualfilterverband einer beliebigen Menge auf. Die ∧-Ideale im Filterverband einer Menge benötigen wir vor allem zur Definition der Limesräume und der limesuniformen Räume und die ∧-Ideale im Dualfilterverband einer Menge im Band 2 für eine Reihe von Begriffen der Mengenkonvergenz und der Konvergenz von Abbildungen. Ein wichtiger Hilfsbegriff für zahlreiche Untersuchungen ist der auf G. Croquet [1] zurückgehende Begriff des Gitters, den wir für beliebige Teilmengen eines Verbandes mit Null- und Einselement einführen. Aussagen über ∧-Ideale, Filter und Gitter sind in zahlreichen Originalarbeiten und Monographien angeführt, zum Beispiel in Bourbaki [1], Bruns und Schmidt [1], Lech [1], Fischer [3], Grimeisen [1], Keller [5], Kowalshy [2] und [3], Nöbeling [1] und Schmidt [1] und [2].