Zusammenfassung
Zweck dieser Arbeit ist die Herleitung einiger neuer Anwendungen der Gebietsvariation von Rayleigh [28], Poincaré [25], Hadamard [13], Schiffer [31–34], Garabedian [8] sowie die Diskussion ihrer Zusammenhänge mit bekannten isoperimetrischen Ungleichungen.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
A. Acker, Heat flow inequalities with applications to heat flow optimization problems. SIAM J. Math. Analysis, zu erscheinen.
C. Bandle, Konstruktion isoperimetrischer Ungleichungen der mathematischen. Physik aus solchen der Geometrie. Comment. Math. Helv. 46, 182–213 (1971).
C. Bandle, Extremaleigenschaften: von Kreissektoren und Halbkugeln. Comment. Math. Helv. 46, 356–380 (1971).
C. Bandle, Existence theorems, qualitative results and a priori bounds for a class of nonlinear Dirichlet problems. Arch. Rat. Mech. Analysis 58, 219–238 (1975).
A. Beurling,. On free-boundary problems for the Laplace equation. Seminars on Analytic Functions, Institute for Advanced Study, Princeton, vol. 1, 248–263 (1957).
T. Carleman, Über ein Minimalproblem der mathematischen Physik. Math. Z. 1, 208–212 (1918).
G. Faber, Beweis, dass unter allen homogenen Membranen von gleicher Fläche und gleicher Spannung die kreisförmige dem tiefsten Grundton gibt, Sitzungsber. Bayr. Akad. Wiss. 1923, 169-172.
P.R. Garabedian, Partial differential equations. Wiley, 1964, Kap.15.
P.R. Garabedian and M.M. Schiffer, Convexity of domain functionals. J. d’Analyse Math. 2, 281–369 (1952/53).
P.R. Garabedian and M.M. Schiffer, Variational problems in the theory of elliptic partial differential equation. J. Rat. Mech. Analysis 2, 137–171 (1953).
P.R. Garabedian and M.M. Schiffer, Ora estimation of electrostatic capacity. Proc. Amer. Math. Soc. 5, 206–211 (1954).
T. Gasser und J. Hersch, über Eigenfrequenzen einer mehrfach zusammenhängenden Membran: Erweiterung von isoperimetrischen Sätzen von Pólya und Szegö. Zeitschr. Angew. Math. Phys. 19, 672–675 (1968).
J. Hadamard, Mémoire sur le problème d’analyse relatif à l’équilibre des plaques élastiques encastrées. Mémoires savants étrangers, Acad. Sci. Paris, 33, 1–128 (1908).
J. Hersch, Transplantation harmonique, transplantation par modules, et théorèmes isopérimétriques. Commet.Math.Helv. 44, 354–366 (1969).
M.-Th. Kohler-Jobin, Démonstration de l’inégalité isopérimétrique \(P\lambda ^2 \geqslant \pi j_0^4 /2\), conjecturée par Pólya et Szegö. C.R. Acad. Sci. Paris 281, 119–121 (1975).
M.-Th. Kohler-Jobin, Une inégalité isopérimétrique entre la fréquence fondamentale d’une membrane inhomogène et l’énergie d’équilibre du problème de Poisson correspondant. C.R. Acad. Sci. Paris 283, 65–68 (1976).
M.-Th. Kohler-Jobin, Une propriété de monotonie isopérimétrique qui contient plusieurs théorèmes classiques. C.R. Acad. Sci. Paris 284, 917–920 (1977).
M.-Th. Kohler-Jobin, Sur la première fonction propre d’une membrane: une extension à N dimensions de l’inégalité isopérimétrique de Payne-Rayner. Zeitschr. Angew. Math. Phys. 28, zu erscheinen.
E. Krahn, Über eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft dea Kreises. Math. Annalen 94, 97–100 (1924).
Z. Nehari, On the principal frequency of a membrane, Pacific J. Math. 8, 285–293 (1958).
L.E. Payne, Isoperimetric inequalities and their applications. SIAM Review 9 453–488 (1967).
L.E. Payne and M.E. Rayner, An isoperimetric inequality for the first eigenfunction in the fixed membrame problem. Zeitschr. Angew. Math. Phya. 23, 13–15 (1972).
L.E. Payne and M.E. Rayner, Some isoperimetric norm bounds for solutions of the Helmholtz equation. Zeitschr. Angew. Math. Phys. 24, 105–110 (1973).
L.E. Payne and H.F. Weinberger, A Faber-Krahn inequality for wedge-like membranes. J. Math. and Phys. 39, 182–188 (1960).
H. Poincaré, Figures d’équilibre d’une masse fluide. Paris, 1903.
G. Pólya, Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic capacity and symmetrization. Quart. Appl. Math. 6, 267–277 (1948).
G. Pólya and G. Szegö, Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princeton Univ. Press, 1951.
Lord Rayleigh, The theory of sound. 2nd ed., London, 1894/96.
F. Rellich, Darstellung der Eigenwerte von Δu + λu = 0 durch ein Randintegral. Math. Z. 46, 635–636 (1940).
B. de Saint-Venant, Mémoire sur la torsion des prismes. Mémoires prés, par divers savants Acad. Sci. 14, 233–560 (1856).
M.M. Schiffer, Hadamard’a formula and variation of domain-functions. Amer. J. Math. 68, 417–448 (1946).
M.M. Schiffer, Variation of domain functionals. Bull. Amer. Math. Soc. 60, 303–328 (1954).
M.M. Schiffer, Partial differential equations of elliptic type. Lecture series Symposium on partial differential equations Berkeley 1955, 97-149 (1957).
M.M. Schiffer, Applications of variational methods in the theory of conformai mapping. Proc. Symp. Appl. Math. 8, 93–113 (1958).
B. Schwarz, Bounds for the principal frequency of the nonhomogeneous membrane and for the generalized Dirichlet integral. Pacific J. Math. 2, 1653–1676 (1957).
R.P. Sperb and P.S. Crooke, Isoperimetric inequalities in a Class of nomlinear eigenvalue problems. SIAM J. Appl. Math. zu erscheinen.
G. Szegö, über einige Extremalaufgaben der Potential theorie. Math. Z. 31, 583–593 (1930).
Author information
Authors and Affiliations
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1978 Springer Basel AG
About this chapter
Cite this chapter
Hersch, J. (1978). Isoperimetrische Schranken für die Gebietsabhängigkeit einiger Funktionale der mathematischen Physik. In: Albrecht, J., Collatz, L., Hämmerlin, G. (eds) Numerische Behandlung von Differentialgleichungen mit besonderer Berücksichtigung freier Randwertaufgaben. International Series of Numerical Mathematics / Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik / Série Internationale D’Analyse Numérique, vol 39. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5566-2_9
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5566-2_9
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-7643-0986-2
Online ISBN: 978-3-0348-5566-2
eBook Packages: Springer Book Archive