Skip to main content

Zusammenfassung

Zweck dieser Arbeit ist die Herleitung einiger neuer Anwendungen der Gebietsvariation von Rayleigh [28], Poincaré [25], Hadamard [13], Schiffer [31–34], Garabedian [8] sowie die Diskussion ihrer Zusammenhänge mit bekannten isoperimetrischen Ungleichungen.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this chapter

Chapter
USD 29.95
Price excludes VAT (USA)
  • Available as PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
eBook
USD 49.99
Price excludes VAT (USA)
  • Available as PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
Softcover Book
USD 49.99
Price excludes VAT (USA)
  • Compact, lightweight edition
  • Dispatched in 3 to 5 business days
  • Free shipping worldwide - see info

Tax calculation will be finalised at checkout

Purchases are for personal use only

Institutional subscriptions

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. A. Acker, Heat flow inequalities with applications to heat flow optimization problems. SIAM J. Math. Analysis, zu erscheinen.

    Google Scholar 

  2. C. Bandle, Konstruktion isoperimetrischer Ungleichungen der mathematischen. Physik aus solchen der Geometrie. Comment. Math. Helv. 46, 182–213 (1971).

    Article  Google Scholar 

  3. C. Bandle, Extremaleigenschaften: von Kreissektoren und Halbkugeln. Comment. Math. Helv. 46, 356–380 (1971).

    Article  Google Scholar 

  4. C. Bandle, Existence theorems, qualitative results and a priori bounds for a class of nonlinear Dirichlet problems. Arch. Rat. Mech. Analysis 58, 219–238 (1975).

    Article  Google Scholar 

  5. A. Beurling,. On free-boundary problems for the Laplace equation. Seminars on Analytic Functions, Institute for Advanced Study, Princeton, vol. 1, 248–263 (1957).

    Google Scholar 

  6. T. Carleman, Über ein Minimalproblem der mathematischen Physik. Math. Z. 1, 208–212 (1918).

    Article  Google Scholar 

  7. G. Faber, Beweis, dass unter allen homogenen Membranen von gleicher Fläche und gleicher Spannung die kreisförmige dem tiefsten Grundton gibt, Sitzungsber. Bayr. Akad. Wiss. 1923, 169-172.

    Google Scholar 

  8. P.R. Garabedian, Partial differential equations. Wiley, 1964, Kap.15.

    Google Scholar 

  9. P.R. Garabedian and M.M. Schiffer, Convexity of domain functionals. J. d’Analyse Math. 2, 281–369 (1952/53).

    Article  Google Scholar 

  10. P.R. Garabedian and M.M. Schiffer, Variational problems in the theory of elliptic partial differential equation. J. Rat. Mech. Analysis 2, 137–171 (1953).

    Google Scholar 

  11. P.R. Garabedian and M.M. Schiffer, Ora estimation of electrostatic capacity. Proc. Amer. Math. Soc. 5, 206–211 (1954).

    Article  Google Scholar 

  12. T. Gasser und J. Hersch, über Eigenfrequenzen einer mehrfach zusammenhängenden Membran: Erweiterung von isoperimetrischen Sätzen von Pólya und Szegö. Zeitschr. Angew. Math. Phys. 19, 672–675 (1968).

    Article  Google Scholar 

  13. J. Hadamard, Mémoire sur le problème d’analyse relatif à l’équilibre des plaques élastiques encastrées. Mémoires savants étrangers, Acad. Sci. Paris, 33, 1–128 (1908).

    Google Scholar 

  14. J. Hersch, Transplantation harmonique, transplantation par modules, et théorèmes isopérimétriques. Commet.Math.Helv. 44, 354–366 (1969).

    Article  Google Scholar 

  15. M.-Th. Kohler-Jobin, Démonstration de l’inégalité isopérimétrique \(P\lambda ^2 \geqslant \pi j_0^4 /2\), conjecturée par Pólya et Szegö. C.R. Acad. Sci. Paris 281, 119–121 (1975).

    Google Scholar 

  16. M.-Th. Kohler-Jobin, Une inégalité isopérimétrique entre la fréquence fondamentale d’une membrane inhomogène et l’énergie d’équilibre du problème de Poisson correspondant. C.R. Acad. Sci. Paris 283, 65–68 (1976).

    Google Scholar 

  17. M.-Th. Kohler-Jobin, Une propriété de monotonie isopérimétrique qui contient plusieurs théorèmes classiques. C.R. Acad. Sci. Paris 284, 917–920 (1977).

    Google Scholar 

  18. M.-Th. Kohler-Jobin, Sur la première fonction propre d’une membrane: une extension à N dimensions de l’inégalité isopérimétrique de Payne-Rayner. Zeitschr. Angew. Math. Phys. 28, zu erscheinen.

    Google Scholar 

  19. E. Krahn, Über eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft dea Kreises. Math. Annalen 94, 97–100 (1924).

    Article  Google Scholar 

  20. Z. Nehari, On the principal frequency of a membrane, Pacific J. Math. 8, 285–293 (1958).

    Article  Google Scholar 

  21. L.E. Payne, Isoperimetric inequalities and their applications. SIAM Review 9 453–488 (1967).

    Article  Google Scholar 

  22. L.E. Payne and M.E. Rayner, An isoperimetric inequality for the first eigenfunction in the fixed membrame problem. Zeitschr. Angew. Math. Phya. 23, 13–15 (1972).

    Article  Google Scholar 

  23. L.E. Payne and M.E. Rayner, Some isoperimetric norm bounds for solutions of the Helmholtz equation. Zeitschr. Angew. Math. Phys. 24, 105–110 (1973).

    Article  Google Scholar 

  24. L.E. Payne and H.F. Weinberger, A Faber-Krahn inequality for wedge-like membranes. J. Math. and Phys. 39, 182–188 (1960).

    Google Scholar 

  25. H. Poincaré, Figures d’équilibre d’une masse fluide. Paris, 1903.

    Google Scholar 

  26. G. Pólya, Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic capacity and symmetrization. Quart. Appl. Math. 6, 267–277 (1948).

    Google Scholar 

  27. G. Pólya and G. Szegö, Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princeton Univ. Press, 1951.

    Google Scholar 

  28. Lord Rayleigh, The theory of sound. 2nd ed., London, 1894/96.

    Google Scholar 

  29. F. Rellich, Darstellung der Eigenwerte von Δu + λu = 0 durch ein Randintegral. Math. Z. 46, 635–636 (1940).

    Article  Google Scholar 

  30. B. de Saint-Venant, Mémoire sur la torsion des prismes. Mémoires prés, par divers savants Acad. Sci. 14, 233–560 (1856).

    Google Scholar 

  31. M.M. Schiffer, Hadamard’a formula and variation of domain-functions. Amer. J. Math. 68, 417–448 (1946).

    Article  Google Scholar 

  32. M.M. Schiffer, Variation of domain functionals. Bull. Amer. Math. Soc. 60, 303–328 (1954).

    Article  Google Scholar 

  33. M.M. Schiffer, Partial differential equations of elliptic type. Lecture series Symposium on partial differential equations Berkeley 1955, 97-149 (1957).

    Google Scholar 

  34. M.M. Schiffer, Applications of variational methods in the theory of conformai mapping. Proc. Symp. Appl. Math. 8, 93–113 (1958).

    Article  Google Scholar 

  35. B. Schwarz, Bounds for the principal frequency of the nonhomogeneous membrane and for the generalized Dirichlet integral. Pacific J. Math. 2, 1653–1676 (1957).

    Article  Google Scholar 

  36. R.P. Sperb and P.S. Crooke, Isoperimetric inequalities in a Class of nomlinear eigenvalue problems. SIAM J. Appl. Math. zu erscheinen.

    Google Scholar 

  37. G. Szegö, über einige Extremalaufgaben der Potential theorie. Math. Z. 31, 583–593 (1930).

    Article  Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

Authors

Editor information

Editors and Affiliations

Rights and permissions

Reprints and permissions

Copyright information

© 1978 Springer Basel AG

About this chapter

Cite this chapter

Hersch, J. (1978). Isoperimetrische Schranken für die Gebietsabhängigkeit einiger Funktionale der mathematischen Physik. In: Albrecht, J., Collatz, L., Hämmerlin, G. (eds) Numerische Behandlung von Differentialgleichungen mit besonderer Berücksichtigung freier Randwertaufgaben. International Series of Numerical Mathematics / Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik / Série Internationale D’Analyse Numérique, vol 39. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5566-2_9

Download citation

  • DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5566-2_9

  • Publisher Name: Birkhäuser, Basel

  • Print ISBN: 978-3-7643-0986-2

  • Online ISBN: 978-3-0348-5566-2

  • eBook Packages: Springer Book Archive

Publish with us

Policies and ethics