Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird ein einfaches lokales Prinzip für die Theorie der singulären Integralgleichungen und auch für ihre Anwendungen gebracht. Dieses lokale Prinzip läßt sich auch anwenden in den Beweisen der Theoreme aus den letzten beiden Kapiteln. Es wird im ersten Paragraphen dargelegt. In den übrigen drei werden mit seiner Hilfe singulare Integraloperatoren untersucht. Dabei werden den Koeffizienten verschiedene Beschränkungen auferlegt. An die Gewichtsfunktion p stellen wir die üblichen Forderungen.
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Bemerkungen und Literaturhinweise
I. B. Simonenko [4, 5] konstruierte eine allgemeine Theorie der Operatoren vom lokalen Typ und erhielt Anwendungen dieser Theorie auf die eindimensionalen und mehrdimensionalen singulären Integraloperatoren. Der größte Teil der Ergebnisse dieses Kapitels stammt von L B. Simonenko [6].
Das in diesem Paragraphen gebrachte lokale Prinzip ist bei weitem einfacher als das von L B. Simonenko benutzte. In dieser Form wurde es von I. Z. Gohberg und N. J. Krupnik [8] vorgeschlagen. Die Analyse, die am Ende des Paragraphen durchgeführt wurde, zeigt, daß dieses lokale Prinzip sehr eng verwandt ist mit dem lokalen Prinzip, das von R. G. Douglas [1] für C*-Algebren vorgeschlagen wurde. In der zitierten Monographie ist eine tiefschürfende Theorie dieses Prinzips entwickelt worden. In dem Artikel von K. Clancey und I. Z. Gohberg [2] ist ein Vergleich zwischen den verschiedenen lokalen Prinzipien enthalten.
Die Ergebnisse dieses Paragraphen wurden von I. B. Simonenko [6] mit Hilfe seines lokalen Prinzips erzielt. Hier wird der Beweis mittels des lokalen Prinzips aus §1 durchgeführt.
Mit anderen Methoden stellten V. D. Frolov [1], V. Ja. Selepov [1] und I. Z. Gohberg und N. J. Krupnik [10] die Theoreme dieses Paragraphen auf.
Die Ergebnisse dieses Paragraphen wurden von L B. Simonenko [3,6] aufgestellt. Wie schon bemerkt wurde, sind die Bedingungen von Theorem 4.1 auch notwendig. Diese Behauptung wurde in dem Fall Γo von A. Devinatz [1] bewiesen. Auf den Fall einer beliebigen Kurve wurde diese Behauptung von I. B. Simonenko [6] verallgemeinert. Ein Kriterium für die einseitige Invertier-barkeit von singulären Integraloperatoren im L2(Γo) enthält die Arbeit von M. Lee und D. Sarason [1].
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Gohberg, I., Krupnik, N. (1979). Das lokale Prinzip. In: Einführung in die Theorie der eindimensionalen singulären Integraloperatoren. Mathematische Reihe, vol 63. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5555-6_13
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5555-6_13
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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