Zusammenfassung
Ebenso wie wir uns in der Theorie analytischer Funktionen einer einzigen komplexen Veränderlichen nicht darauf beschränken können, nur holomorphe Funktionen auf offenen Teilmengen von C zu untersuchen, sondern natürlicherweise zum Studium analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen übergehen müssen, ist auch im n-dimensionalen Fall die Theorie der analytischen Funktionen auf offenen Teilmengen von Cn zu restriktiv,1) und es mußten analytische Funktionen mehrerer Veränderlicher auf allgemeineren Räumen herangezogen werden. In diesem Entwicklungsprozeß der Funktionentheorie entspricht der erste Schritt den analytischen Mannigfaltigkeiten, die im eindimensionalen Fall mit den Riemannschen Flächen übereinstimmen.
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Literatur
Wir erinnern daran, daß wir der Kürze halber die Einschränkung und die Ko-Einschränkung mit demselben Buchstaben wie die ursprüngliche Abbildung bezeichnen.
Im allgemeinen ist jede zusammenhängende Komponente von V ein lokal euklidischer Raum mit einer bestimmten Dimension.
Wir werden die hier untersuchten Mannigfaltigkeiten nur dann als zusammenhängend ansehen, wenn dies erforderlich ist. Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit (bei der also alle zusammenhängenden Komponenten von der Dimension n sind), heißt homogen oder rein.
MiLxox zeigte, daß es topologische Mannigfaltigkeiten gibt, auf denen keine differenzier-bare Struktur definiert werden kann; andererseits gibt es topologische Mannigfaltigkeiten, auf denen sich mehrere differenzierbare Strukturen definieren lassen. Hinsichtlich differenzierbarer Mannigfaltigkeiten vgl. etwa C. Teleman [1]; Kap. V; G. DE Rham [1]; N. BounBA%I [5].
Es sei bemerkt, daß der Begriff der differenzierbaren Untermannigfaltigkeit, der hier nur definiert wurde, um die offenen Teilmengen einer Mannigfaltigkeit wieder zu Mannigfaltigkeiten machen zu können, von dem im allgemeinen in der Differentialgeometrie verwendeten Begriff der Untermannigfaltigkeit abweicht (C. Teleman [1], Kap. V, S. 351 ).
Nach einem Satz von Whitney ist jede differenzierbare Mannigfaltigkeit zu einer C°°-Mannigfaltigkeit homöomorph, so daß nur diese Klasse untersucht zu werden braucht.
Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend, wie eine Überlegung analog der für den Fall der Differenzierbarkeit angestellten zeigt.
Der Begriff der analytischen Mannigfaltigkeit wurde von O. TeichmÜLler [1] eingeführt. Später lenkten die Untersuchungen von H. Hopf [1] und C. Ehresmann die Aufmerksamkeit der Spezialisten auf diesen Begriff (H. Behnke [1]). Den Vorschlag, eine allgemeine Funktionentheorie auf abstrakten Riemannschen Gebieten beliebiger Dimension aufzubauen, machte C. CAuAatnÉODoRY [1] schon im Jahre 1932.
Immer wenn wir von einer komplex-analytischen Mannigfaltigkeit sprechen, verstehen wir unter ihrer Dimension (bzw. ihrer Dimension in einem Punkt) die komplexe Dimension; andernfalls werden wir das Adjektiv „reell“ hinzufügen.
Es sei bemerkt, daß die Bezeichnung „komplex-analytische Untermannigfaltigkeit“ häufig auch in einem anderen Sinne verwendet wird (vgl. § 8, Definition 2).
Diese Definition ist für die auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit differenzierbaren Abbildungen sinnvoll.
Auf jeder beliebigen komplex-analytischen Mannigfaltigkeit bleiben diese Erkenntnisse erhalten. Zum Beweis des Satzes von Montel werden anstelle des Diagonalverfahrens Ultrafilter herangezogen.
Diese abkürzende Bezeichnung ist der aus Kap. I, § 8, Nr. 2, ähnlich
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Cazacu, C.A. (1975). Theorie der Analytischen Funktionen auf Komplex-Analytischen Mannigfaltigkeiten. In: Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher. Mathematische Reihe, vol 51. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5537-2_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5537-2_3
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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