Die Berechnung des Dominanten Eigenwertes einer Matrix mit Hilfe von Monotonen Extremalpolynomen

Zusammenfassung

Das Iterationsverfahren (v. Mises — Geiringer) zur numerischen Bestimmung des dominanten Eigenwerts einer Matrix gehört bei geschickter Anwendung (besonders in der Form der Simultan-Iteration) zu den sichersten Verfahren zur Eigenwertberechnung (vgl. die Bücher FADDEJEW-FADDEJEWA [2], SCHWARZ-RUTISHAUSER-STIEFEL [11], WILKINSON [13], WILKINSON-REINSCH [14]). Bei eng benachbarten betragsgroßen Eigenwerten konvergiert das Verfahren allerdings ziemlich langsam. Durch Iteration mit mehreren linear unabhängigen Vektoren (Simultan-Iteration) und durch Einschalten von Čebyšev-Polynomen läßt sich die Konvergenz oft beträchtlich beschleunigen (FLANDERS-SHORTLEY [3], ENGELI-GINSBURG-RUTISHAUSER-STIEFEL [1], HAGEMAN-KELLOG [4], RUTISHAUSER [9], [10]). Besonders günstig erweist sich die Čebyšev-Methode bei symmetrischen Matrizen, da sich hier wegen der Extremaleigenschaft des Rayleigh-Quotienten in einfacher Weise untere Schranken für den dominanten Eigenwert bestimmen lassen (RUTISHAUSER [10]). In anderen Fällen kann aber eine ungünstige Wahl der Iterationsparameter wegen des stark oszillierenden Verlaufs der Čebyšev-Polynome zu Schwierigkeiten führen.