Über Integralgleichungen

Zusammenfassung

Die näherungsweise Lösung von Gleichungen der Mathematischen Physik, d. h. von Differential- oder Integralgleichungen, erfolgt meistens mit Hilfe direkter Methoden, die darin bestehen, daß die Konstruktion einer Näherungslösung auf die Lösung eines algebraischen Gleichungssystems zurückgeführt wird. Die direkten Methoden haben sich in der Praxis bestens bewährt, insbesondere bei der Lösung linearer Aufgaben, und fanden eine beachtliche Verbreitung. Dabei werden die verschiedenen Varianten der Differenzenverfahren in der Regel bevorzugt; unter diesem Aspekt haben wir in den Kapiteln VIII und IX die Variationsdiffferenzenmethode behandelt. Neben vielen Vorzügen weisen die direkten Methoden jedoch auch einen unübersehbaren Nachteil auf. Will man die Genauigkeit der Näherungslösung erhöhen, muß man die Ordnung des algebraischen Gleichungssystems vergrößern, was oftmals eine Instabilität des numerischen Prozesses zur Folge hat. Wie wir in Kap. IX sahen, führt in der Differenzenmethode eine Erhöhung der Ordnung des genannten Systems zu einer Vergrößerung der Konditionszahl dieser Matrix, was wiederum eine Anhäufung von Fehlern bei der Lösung des Systems nach sich zieht und in der Folge eine geringere Genauigkeit ergibt; wir konnten diese Erscheinung in der Aufgabe von § 7, Kap. IX, verfolgen. Wir erwähnen auch, daß die Lösung großer algebraischer Gleichungssysteme auf elektronischen Rechenanlagen noch auf spezifische Schwierigkeiten stößt, die mit der beschränkten Speicherkapazität dieser Anlagen zusammenhängen.

The erratum of this chapter is available at http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-5499-3_17