Distributionen

Zusammenfassung

Eine stetige Funktion im R _n besitzt nicht notwendig stetige partielle Ableitungen erster Ordnung, eine stetig differenzierbare Funktion besitzt nicht notwendig stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung usw. Diese Aussagen sind elementar und lassen sich leicht durch Beispiele belegen. Vom physikalischen Standpunkt sind diese Feststellungen aber bedauerlich. Einerseits basieren viele physikalische Theorien auf partiellen Differentialgleichungen, andererseits führen die mathe matischen Idealisierungen physikalischer Probleme auf natürliche Weise auf nicht differenzierbare oder sogar unstetige Funktionen. Die Elektrodynamik und die Quantenmechanik kennen hierfür viele Beispiele. Es gibt zwei Möglichkeiten, diesem Dilemma zu entgehen. Entweder man formuliert die Grundgesetze entsprechender physikalischer Theorien um, oder man sucht eine neue Basis, einen erweiterten Funktionsbegriff, einen neuen Differenzierbarkeitsbegriff usw. Beide Wege sind möglich. Im ersten Fall kann man z. B. partielle Differentialgleichungen durch Integralidentitäten ersetzen, die auch für allgemeinere Funktionen gelten. Hierbei stößt man aber häufig auf neue Schwierigkeiten, ganz davon abgesehen, daß Mathe matiker und Physiker lieber mit Differentialgleichungen als mit Integralidentitäten rechnen. Der andere Weg führt zur Theorie der Distributionen (verallgemeinerte Funktionen): Man erweitert den Funktionsbegriff, den Begriff der Differenzierbarkeit usw., hält aber an den partiellen Differentialgleichungen fest. Viele technische Schwierigkeiten und (vom physikalischen Standpunkt aus) künstliche Zusatzbe dingungen bei den partiellen Differentialgleichungen der theoretischen Physik ent fallen im Rahmen dieses neuen Kalküls.