Etappen in der Entwicklungsgeschichte des sogenannten Vertauschbarkeitssatzes von Schwarz

Zusammenfassung

In dem Aufsatz: “Ueber ein vollständiges System von einander unabhängiger Voraussetzungen zum Beweise des Satzes $\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}} \right)$ ”¹ bewies H. A. Schwarz 1873:

Für eine auf einer “stetigen, zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit” definierten stetigen Funktion f, für die f _x , f _y und f _xy existieren, gilt

$$ {f_{xy}}\left( {x,y} \right) = {f_{yx}}{\left( {x,y} \right)^2} $$

unter den Voraussetzungen, daß i) f _x stetig is, ii) f _y stetig ist, und iii) f _xy stetig ist.³