Ueber reguläre sphärische Polyscheme

Zusammenfassung

Die tetrasphärischen regulären Polyscheme entsprechen in Beziehung auf Zahl und Anordnung ihrer Teile genau den regulären Polyedern des Raums. Sind die trisphärischen Perischeme eines solchen lauter kongruente reguläre m-Ecke deren je n in einem ebenfalls regulären Eck zusammentreffen, und sind alle Argumente gleich 2 α, so soll das Polyschem mit P _m,n (2 α) bezeichnet werden. Man ziehe aus seinem sphärischen Centrum O einen Kreisbogen O A normal auf ein trisphärisches Perischem, so wird der Fusspunkt A das Centrum dieses Perischems sein; von A aus ziehe man den Kreisbogen A A ₁ normal auf eine Seite B B′ des Perischems, so wird der Fusspunkt A ₁ die Mitte von B B′ sein. Dann ist A O B A ₁ ein Orthoschem, worin die an den Seiten O A ₁, A ₁ A, A B liegenden Argumente rechte und die an den Seiten A O, O B, O B, B A ₁ liegenden resp. $$ α sind; der Wert des Orthoschems ist also f ₄ $$ . Je 2 m Orthoscheme setzen sich zu einem pyramidalen Polyschem zusammen, welches O zur Spitze und ein Vieleck zur Basis hat; und dieses ist wiederum im ganzen regulären Polyschem so oft enthalten, als die Zahl 4 n: (2 m + 2 n − m n) seiner trisphärischen Perischeme anzeigt; folglich ist

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(1)

Für das Minimum von α ist $$ ; hier verschwindet P. Von da ankann α bis $$ wachsen, wo dann P _m,n (π) = 8, d h. gleich dem halben tetrasphärischen Kontinuum wird. Können mehrere Polyscheme P _m,n (2 α) um ein Eck herum so zusammengefügt werden, wie es dem Charakter (n, p) entspricht, d. h. so, dass jede vom Eck ausgehende Seite p Polyschemen gemein ist, so ist offenbar das Argument $$ . Dieser Fall tritt ein, wenn das mit (m, n, p) bezeichnete lineare reguläre Polyschem der vielfachen Totalität auf die konzentrische Tetrasphäre pojiziert wird; die Projektionjedes Grenzpolyeders (m, n) ist dann ein tetrasphärisches $$ . Da nun das totaletetrasphärische Kontinuum 16 beträgt, so ist die Zahl der Grenzpolyeder von (m, n, p) gleich 16: $$ Wenn das betrachtete lineare Polyschem a ₀ Ecken, a ₁ Kanten, a ₂ Vielecke, a ₃ Polyeder zählt, so können wir demnach die Proportionen (1) des § 17 in die Gleichungen

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(2)

umsetzen. Durch dieselben werden § 17 und 30 in eine solche Verbindung gesetzt, dass, wenn die Ergebnisse des einen noch nicht bekannt wären, sie aus denen des andern gefunden werden könnten.