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The Transfinite Ordinals and Cantor’s Mature Theory

  • José Ferreirós
Part of the Science Networks. Historical Studies book series (SNHS, volume 23)

Abstract

On the whole, one may differentiate four phases in the development of Cantor’s research on sets. The first, from about 1870 to 1872, was devoted to the study of point-sets through their derived sets for the purposes of the theory of trigonometric series. The second stretched from 1873 to 1878 and focused above all on the study of infinite cardinalities (chap. VI). The third period, 1879 to 1884, was guided by the core objective of proving the Continuum Hypothesis (CH). Cantor studied in detail the powers of subsets of ℝ, looking for combined results on derived sets and powers, which led him to introduce basic notions of the topology of point-sets. Up to this point, however, he had not distilled an abstract conception of set theory, dissociated from topological properties. With the introduction of transfinite ordinal numbers, in 1883, he found a way of defining an increasing sequence of consecutive powers or cardinalities. His interests thereafter shifted from the theory of point-sets to that of ordered sets, and by 1885 he had conceived of a general theory of order types (i.e., types of totally ordered sets). Thus he finally arrived at a general, abstract analysis of sets based on the notions of cardinality and order. This fourth period went from 1885 to the end of his career.

Keywords

Ordinal Number Order Type Cardinal Number Continuum Hypothesis Actual Infinity 
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References

  1. 1.
    [Cantor 1883, 34]: “das Wesen der Mathematik liegt gerade in ihrer Freiheit.” Google Scholar
  2. 2.
    Cantor, November 5, 1882 [Cantor & Dedekind 1937, 55]: “... gerade seit unserm jüngsten Zusammensein in Harzburg und Eisenach hat es Gott der Allmächtige geschickt, dass ich zu den merkwürdigsten, unerwartetesten Aufschlüssen in der Mannigfaltigkeitslehre und in der Zahlenlehre gelangt bin oder vielmehr dasjenige gefunden habe, was in mir seit Jahren gegährt hat, wonach ich lange gesucht habe.”Google Scholar
  3. 1.
    A very detailed, though perhaps over-systematic, discussion of Cantor’s views can be found in [Hallett 1984, ch.l]. The reader will find there an interesting analysis of Cantor’s “finitism,” in the sense of his quasi-finitistic or quasi-combinatorial conception of infinite sets. Here I employ the term `finitism’ in the usual meaning.Google Scholar
  4. 2.
    It is not surprising that this kind of open polemics would bother Kronecker, who had never published his ideas. In personal conversations he went so far as to call Cantor a corrupter of the youth [Schoenflies 1927, 2].Google Scholar
  5. 1.
    See [Cantor 1879/84, 212–13; Schoenflies 1927, 12]. Cantor’s interest in philosophy dates back to his student times, when he studied carefully the views of Spinoza [Purkert & Ilgauds 1987, 183]; see also [Cantor 1932, 62].Google Scholar
  6. 1.
    [Cantor 1883, 1751: “Zu dem Gedanken, das Unendlichgrosse nicht bloss in der Form des unbegrenzt Wachsenden und in der hiermit eng zusammenhängenden Form der im siebenzehnten Jahrhundert zuerst eingeführten convergenten unendlichen Reihen zu betrachten, sondern es auch in der bestimmten Form des Vollendetunendlichen mathematisch durch Zahlen zu fixiren, bin ich fast wider meinen Willen, weil im Gegensatz zu mir werthgewordenen Traditionen, durch den Verlauf vieljähriger wissenschaftlicher Bemühungen und Versuche logisch gezwungen worden und ich glaube daher auch nicht, dass Gründe sich dagegen werden geltend machen lassen, denen ich nicht zu begegnen wüsste.”Google Scholar
  7. 2.
    This topic has been studied by all biographers, see [Meschkowski, ch. 8; Dauben 1979, ch. 6 and 10; Purkert & Ilgauds 1987]. For its mathematical implications, see especially [Hallett 1984, 40–48, 165–76] and [Jané 1995].Google Scholar
  8. 1.
    The point seems to have been first realized by Purkert; see [Purkert & Ilgauds 1987].Google Scholar
  9. 2.
    Cantor went so far as to say that these disciplines are “metaphysical” in both their foundation and goals [1883, 183]; the idea would reappear in the following years.Google Scholar
  10. 3.
    [Cantor 1883, 182]: “dass nämlich [die Mathematik] bei der Ausbildung ihres Ideenmaterials einzig und allein auf die immanente Realität ihrer Begriffe Rücksicht zu nehmen... hat.”Google Scholar
  11. 1.
    See, e.g., the first sentence of endnote 1 in [1883, 204].Google Scholar
  12. 2.
    The term ‘Inbegriff,’ meaning class, is etymologically related to `Begriff,’ or concept. In my translations I have rendered it as `collection’ for lack of a better choice.Google Scholar
  13. 1.
    [Cantor 1879/84, 150]: “Eine Mannichfaltigkeit (ein Inbegriff, eine Menge) von Elementen, die irgend welcher Begriffsphäre angehören, nenne ich wohldefinirt, wenn auf Grund ihrer Definition und in Folge des logischen Princips vom ausgeschlossenen Dritten es als intern bestimmt angesehen werden muss, sowohl ob irgend ein derselben Begriffsphäre angehöriges Object zu der gedachten Mannichfaltigkeit als Element gehört oder nicht, wie auch ob zwei zur Menge gehörige Objecte, trotz formaler Unterschiede in der Art des Gegebenseins einander gleich sind oder nicht.”Google Scholar
  14. 2.
    This is reminiscent of the conditions for significativity that Weyl [1918] imposes on logic and therefore on his predicative set theory. Weyl, in turn, seems to have been influenced by Husserl.Google Scholar
  15. 3.
    It may also explain why he never employed equivalence classes in the context of his definition of real numbers, and why he distinguished higher kinds of real numbers in 1872 and 1883Google Scholar
  16. 1.
    [Cantor 1879/84, 1501: “das allgemeinste genuine Moment bei Mannichfaltigkeiten.”Google Scholar
  17. 2.
    It seems clear, as a historical fact, that the reason why Cantor attributed great importance to order types was because only well-ordered sets allowed him to establish a satisfactory theory of transfinite powers. He regarded denumerability by ordinals as a distinguishing feature of transfinite sets [Hallett 1984, 146–50], but this does not imply that he had an ordinal conception of sets.Google Scholar
  18. 3.
    [Cantor 1883, 204]: “Unter einer Mannichfaltigkeit oder Menge verstehe ich nämlich allgemein jedes Viele, welches sich als Eines denken lässt, d.h. jeden Inbegriff bestimmter Elemente, welcher durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann und ich glaube hiermit etwas zu definiren, was verwandt ist mit dem Platonischen eiSoç oder iôéa.”Google Scholar
  19. 4.
    Perhaps Cantor employs `law’ instead of `concept’ because the condition may logically be more complex than a property. Lavine’s interpretation [1994, 85] seems forced and contrary to texts of a year earlier. Cantor’s reference (immediately after the text I have quoted) to the “gucr6v” seems to be simply related to his idea that transfinite sets are infinite but at the same time determinate.Google Scholar
  20. 1.
    See, e.g., the second quotation in [1895/97, 282], taken from Francis Bacon. Cantor compares his mathematical activity with the work of a “faithful scribe” transcribing the revelations of Nature.Google Scholar
  21. 2.
    [Cantor 1883, 181–82]: “[die] Einheit des Alls, zu welchem wir selbst mitgehören.” Google Scholar
  22. 3.
    See [Cantor 1883, 177, 199, 204–07; Cantor 1932, 374–75], his published views of 1885 in [Cantor 1932, 261–76], and also the letters to Mittag-Leffler and Hermite in [Meschkowski 25859, 275].Google Scholar
  23. 4.
    However, in 1888 he still praised Dedekind’s tendency to give a purely logical foundation for arithmetic, although he criticized his work for other reasons (see his letter to Vivanti in [Meschkowski & Nilson 1991, 302]).Google Scholar
  24. 1.
    [Cantor 1883, 165]: “Die bisherige Darstellung meiner Untersuchungen in der Mannichfaltigkeitslehre ist an einen Punkt gelangt, wo ihre Fortführung von einer Erweiterung des realen ganzen Zahlbegriffs über die bisherigen Grenzen hinaus abhängig wird, und zwar fällt diese Erweiterung in eine Richtung, in welcher sie meines Wissens bisher von Niemandem gesucht worden ist./Die Abhängigkeit, in welche ich mich von dieser Ausdehnung des Zahlbegriffs versetzt sehe, ist eine so grosse, dass es mir ohne letzere kaum möglich sein würde, zwanglos den kleinsten Schritt weiter vorwärts in der Mengenlehre auszuführen.”Google Scholar
  25. 1.
    This conjecture is discussed in section 2 of [Ferreirós 1995].Google Scholar
  26. 1.
    Unpublished paper of 1885 [Grattan-Guinness 1970, 86]: “Sie erscheint mir daher als der ursprünglichste, sowohl psychologisch, wie auch methodologisch einfachste Stammbegriff.” Google Scholar
  27. 2.
    In [1895/97], Cantor discussed the ordinals only after the finite and infinite cardinals. Indeed, this is responsible for some methodological weaknesses of his exposition (see Zermelo’s editorial comments in [Cantor 1932]).Google Scholar
  28. 3.
    [Cantor 1883, 168]: “so ist durch diesen Zusammenhang... die von mir betonte Realität der letzteren auch in den Fällen, dass sie bestimmt-unendlich ist, erwiesen.”Google Scholar
  29. 1.
    Cantor takes co, as it figures in expressions such as lim f (x), to be a prototype of the im-x —) m proper infinite.Google Scholar
  30. 2.
    But this process, unlike the `generation’ of transfinite numbers, had rz or 1’0 as a clear basis.Google Scholar
  31. 3.
    Instead of following the conventions of [Cantor 1883], where he wrote 2m, we are following the definitive notational convention introduced by Cantor in [1895/97] (as we shall see, addition and product of ordinals is not commutative).Google Scholar
  32. 1.
    [Cantor 1883, 197]: “Bemerken wir nun aber, dass alle bisher erhaltenen Zahlen und die zunächst auf sie folgenden eine gewisse Bedingung erfüllen, so erweist sich diese Bedingung, wenn sie als Forderung an alle zunächst zu bildenden Zahlen gestellt wird,als ein neues, zu jenen beiden hinzutretendes drittes Princip, welches von mir Hemmungs-oder Beschränkungsprincip genannt wird und das, wie ich zeigen werde, bewirkt, dass die mit seiner Hinzuziehung definirte zweite Zahlenclasse (II) nicht nur eine höhere Mächtigkeit erhält als (I), sondern sogar genau die nächst höhere, also zweite Mächtigkeit.” Google Scholar
  33. 1.
    [Cantor 1883, 199]: “mit Beobachtung dieser drei Principe kann man mit der grössten Sicherheit und Evidenz zu immer neuen Zahlenclassen und mit ihnen zu allen in der körperlichen und geistigen Natur vorkommenden, verschiedenen, successive aufsteigenden Mächtigkeiten gelangen.”Google Scholar
  34. 2.
    Otherwise, we would have to explain why (or postulate that) we are entitled to collect all denumerable ordinals a, or all possible orderings of RT, into a set.Google Scholar
  35. 1.
    [Cantor & Dedekind 1937, 59]: “So viel ich sehen kann, lassen sich unsere endlichen Irrationalzahlen verhältnismässig einfach unter Zuhülfenahme der Zahlen a bestimmen, was ich noch weiter verfolgen will.”Google Scholar
  36. 1.
    [Cantor 1883, 168]: “Unter einer wohlgeordneten Menge ist jede wohldefinirte Menge zu verstehen, bei welcher die Elemente durch eine bestimmt vorgegebene Succession mit einander verbunden sind, welcher gemäss es ein erstes Element der Menge giebt und sowohl auf jedes einzelne Element (falls es nicht das letzte in der Succession ist) ein bestimmtes anderes folgt, wie auch zu jeder beliebigen endlichen oder unendlichen Menge von Elementen ein bestimmtes Element gehört, welches das ihnen allen nächst folgende Element in der Succession ist (es sei denn, dass es ein ihnen allen in der Succession folgendes überhaupt nicht giebt).”Google Scholar
  37. 2.
    Although it conflicted with Dedekind’s usage. Likewise, he called order-isomorphic sets `similar,’ the same term that Dedekind [1888] employed for equipollent sets.Google Scholar
  38. 1.
    Cantor had already presented the matter this way during the Naturforscherversammlung of September 1883, and thought about publishing it [Meschkowski & Nilson 1991, 130, 136–38]. He indicates the idea also in [1879/84, 213–14].Google Scholar
  39. 1.
    [Meschkowski 1967, 251–521: “Es sind dies Begriffe resp. Zeichen oder Charactere, welche ich zur Characteristik von Punctmengen unentbehrlich brauche..../Ich gehe von dem Begriff einer ”wohlgeordneten Menge“ aus, nenne wohlgeordnete Mengen von gleichem Typus (oder gleicher Anzahl) solche, die sich unter Wahrung der beiderseitigen Rangfolge ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander beziehen lassen und verstehe nun unter Zahl das Zeichen oder den Begriff für einen bestimmten Typus wohlgeordneter Mengen. Beschränkt man sich auf die endlichen Mengen, so erhält man auf diese Weise die endlichen ganzen Zahlen. Geht man aber dazu über, die sämtlichen Typen wohlgeordneter Mengen der ersten Mächtigkeit zu übersehen, so kommt man mit Nothwendigkeit zu den transfiniten Zahlen der zweiten Zahlenclasse und durch diese zur zweiten Mächtigkeit.” Cantor does not forget to flatter the Berlin master by mentioning his “mathematical superiority” [mathematische Ueberlegenheit], that would be needed to solve open problems in transfinite number theory.Google Scholar
  40. 2.
    [Cantor 1883, 169]: “Der Begriff der wohlgeordneten Menge weist sich als fundamental für die ganze Mannichfaltigkeitslehre aus. Dass es immer möglich ist, jede wohIdefinirte Menge in die Form einer wohlgeordneten Menge zu bringen, auf dieses, wie mir scheint, grundlegende und folgenreiche, durch seine Allgemeingültigkeit besonders merkwürdige Denkgesetz werde ich in einer späteren Abhandlung zurückkommen.”Google Scholar
  41. 1.
    Having done that, it was possible to expand cp into a one-to-one correspondence between S and [0,1], since both the elements of L and the irrational numbers in [0,1] can be defined through fundamental sequences of elements of, respectively, {(a,,,b„)} and glom.Google Scholar
  42. 2.
    What we now call totally ordered sets, for which an order relation < is given such that, whenever a and b are different elements, then either a<b or b<a is the case.Google Scholar
  43. 1.
    This model was also followed in the Beiträge, see [Cantor 1895/97, 282–83, 296–98]. Such definitions had already been published in Cantor’s 1885 review of [Frege 1884], see [Cantor 1932, 441].Google Scholar
  44. 2.
    [Grattan-Guinness 1970, 86]: “entstanden durch Abstraction von allen Besonderheiten, die eine Menge von bestimmter Classe darbieten kann, sowohl in Ansehung der Beschaffenheit ihrer Elemente, wie auch hinsichtlich der Beziehungen und Anordnungen, in welchen die Elemente sei es untereinander oder zu ausserhalb der Menge liegenden Dinge stehen können.”Google Scholar
  45. 3.
    This theorem is the main result in §9 of Beiträge [1895/97, 304–06].Google Scholar
  46. 1.
    [Grattan-Guinness 1970, 92]: “Sei e ein Element von A, so kann dasselbe folgendes Vorkommniss darbieten; wird mit ’e irgend ein dem Range nach früher als e vorkommendes Element von A bezeichnet... bezeichnen wir ferner mit e’ irgend ein dem Range nach später als e vorkommendes Element von A,... dann fallen zwischen ’e und e’ (dem Range nach) stets unendlich viele Elemente von A; erfüllt e diese Bedingung,so wollen wir e ein Hauptelement von A nennen.”Google Scholar
  47. 2.
    Zermelo gives a simple example, the set {0,’’A,...1–1/n,..., 2} of type w+l, which possesses a principal element, 2, that is the limit of an w-sequence [Cantor 1932, 354]; if we regard it as a point-set in IR, obviously the set does not contain its only limit point, 1.Google Scholar
  48. 1.
    On coherence and adherence, see §V1.8; theis connection with CH is indicated in [Cantor 1932, 264; Schoenflies 1927, 17]. Most of the ordinal notions that Cantor elaborated in these years reappear in the Beiträge [1895/97], but not so these concepts.Google Scholar
  49. 2.
    He took this impression from a review written by Tannery, and probably from the counsels of Mittag-Leffler [Grattan-Guinness 1970, 84]. Even so, §1 discussed briefly the relations between mathematics and metaphysics.Google Scholar
  50. 3.
    [Grattan-Guinness 1970, 84]: “Sie bildet einen wichtigen und grossen Theil der reinen Mengenlehre (Théorie des ensembles), also auch der reinen Mathematik, denn letztere ist nach meiner Auffassung nichts Anderes als reine Mengenlehre.” Google Scholar
  51. 1.
    For Klein, see the letters in [Purkert & Ilgauds 1987, 186, 190–91] or [Meschkowski & Nilson 1991]. As regards Acta, see [Mittag-Leffler 1927, 26], which ought to be corrected in the light of [Dugac 1984, 70–71]. For Weierstrass, see [Mittag-Leffler 1923, 195; Dugac 1973, 141].Google Scholar
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    [Dugac 1984, 209], as translated in [Moore 1989, 96].Google Scholar
  53. 2.
    A similar ignorance is found in Borel, when many years later he wrote that Camille Jordan “rehabilitated” set theory by showing its usefulness for integration theory (see the quotation in [Hawkins 1970, 96]).Google Scholar
  54. 1.
    Du Bois-Reymond acknowledged Cantor’s originality but also claimed his part in some results and ideas [1882, 178–79].Google Scholar
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    Cantor himself wrote a necrological note [1932, 368–69].Google Scholar
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    [Grattan-Guinness 1970, 102]: “Ja es kann wohl sein dass man Ihnen und Ihre Theorien nieGoogle Scholar
  57. 1.
    See [Meschkowski 1967; Dauben 1979; Purkert & Ilgauds 1987] and Cantor’s letters in [Meschkowski & Nilson 1991]. In particular, on his turn to a deeper religiousness see [Dauben 1979, 140–48], on the Bacon—Shakespeare polemics see [Purkert & Ilgauds 1987, 82–92].Google Scholar
  58. 2.
    [Purkert & Ilgauds 1987, 1001: “muss ich bekennen, dass unter den hunderten von Collegen, die sich in diesem Monate hier um mich vereinigen werden, keiner ist, der mich so gut versteht wie Sie.” Langbehn wrote a best-selling book and is regarded as an intellectual forerunner of Nazism. Cantor broke with him and his racist ideas, but their correspondence is an interesting document of his opinions (see [op.cit., 95–101]).Google Scholar
  59. 1.
    [Cantor 1892, 279]: “Dieser Beweis erscheint nicht nur wegen seiner grossen Einfachheit, sondern namentlich auch aus dem Grunde bemerkenswert, weil das darin befolgte Prinzip sich ohne weiteres auf den allgemeinen Satz ausdehnen lässt, dass die Mächtigkeiten wohldefinierter Mannigfaltigkeiten kein Maximum haben oder, was dasselbe ist, dass jeder gegebenen Mannigfaltigkeit L eine andere M an die Seite gestellt werden kann, welche von stärkerer Mächtigkeit ist als L.” Google Scholar
  60. 1.
    The notion of cardinal number, together with definitions of addition and multiplication, had already been given in the `philosophical’ paper [1887/88, 411–14], although at that point Cantor was not yet using the Cartesian product.Google Scholar
  61. 2.
    [Cantor 1895/97, 287]. He wrote that “in a certain sense” a “covering” is “a univocal function” of elements of N.Google Scholar
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    A rigorous introduction of finite cardinals and xo would have required the previous development of the theory of well-ordered sets, but Cantor thought this ran contrary to the natural order.Google Scholar
  63. 1.
    [Cantor 1883, 205]: “Das Absolute kann nur anerkannt, aber nie erkannt, auch nicht annähernd erkannt werden.” The triadic distinction between finite, transfinite and absolute becomes even sharper in the philosophical papers (e.g., [Cantor 1887/88, 378]). See [Hallett 1984, 32–48; Jané 1995].Google Scholar
  64. 1.
    As late as 1888 Cantor praised Dedekind’s work and did not indicate any inconsistency in it (see below). Thus, Purkert’s interpretation [1989] that the paradoxes were the motivation that led Cantor to write the Grundlagen seems to me over-optimistic.Google Scholar
  65. 2.
    [Cantor 1895/97, 282]: “Unter einer `Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die `Elemente’ von M gennant werden) zu einem Ganzen.”Google Scholar
  66. 3.
    This was first realized by Purkert (see [Purkert & Ilgauds 1987, 150–59]).Google Scholar
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    Bernstein’s recollections, in [Dedekind 1930/32, vol. 3, 449].Google Scholar
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    [Meschkowski & Nilson 1991, 390]: “Der Inbegriff der Alefs lässt sich als eine bestimmte wohldefinirte Menge auffassen, da doch wenn irgend ein Ding gegeben wird allemal muss entschieden werden können, ob dieses Ding ein Alef sei oder nicht; mehr aber gehört doch nicht zu einer wohldefinierten Menge.”Google Scholar
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    [Cantor & Dedekind 1932, 443]: “Eine Vielheit kann nämlich so beschaffen sein, dass die Annahme eines `Zusammenseins’ aller ihre Elemente auf einen Widerspruch führt, so dass es unmöglich ist, die Vielheit als eine Einheit, als `ein fertiges Ding’ aufzufassen. Solche Vielheiten nenne ich absolut unendliche oder inkonsistente Vielheiten.” Google Scholar
  70. 3.
    For instance, ICY might be inconsistent and we have simply not yet found the contradiction. See [op.cit., 447–48], where Cantor proposes to introduce two `axioms’—that finite sets are consistent, “`the axiom of arithmetic’ (in the old sense of the word);” and that each aleph is consistent.Google Scholar
  71. 1.
    [Cantor & Dedekind 1932, 444–45]: “Das System 12 bildet daher in seiner natürliche Grössenordnung eine Folge’.” A “Vielheit” is called a “Folge” in case it is “wohlgeordnet.”Google Scholar
  72. 2.
    Next, Cantor appealed to the existence of a one-to-one mapping between the ordinals and the alephs (see [Cantor 1883, 205]) in order to derive from the paradox of ordinals the paradoxical character of the system of all alephs [Cantor & Dedekind 1932, 446].Google Scholar
  73. 1.
    In response to a mathematical almanach announcing that he had died the very same date of Cantor’s visit, Dedekind wrote the editor that day and month might be correct, but not the year. He had spent that day in very stimulating conversation with Cantor, who dealt a death-blow not to himself, but rather to one of his errors [Landau 1917, 54].Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1999

Authors and Affiliations

  • José Ferreirós
    • 1
  1. 1.Dpto. de Filosofía y Lógica, Avda. San Francisco Javier, s/nUniversidad de SevillaSevillaSpain

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