Advertisement

The Notion of Cardinality and the Continuum Hypothesis

  • José Ferreirós
Part of the Science Networks. Historical Studies book series (SNHS, volume 23)

Abstract

The present chapter will discuss Cantor’s first two articles on topics that would become the core of transfinite set theory — his famous work on the nondenumerability of the reals [1874] and the equipollence of continua of any number of dimensions [1878]. This was the birth of the notion of cardinality or power of an infinite set,2 which Cantor presented to the public in the second paper, an epochmaking article which also contained his first version of the Continuum Hypothesis. The paper that might be regarded as the first published contribution to transfinite set theory [Cantor 1874] appeared under complex circumstances, and it was far from offering a clear idea of Cantor’s actual views. The crucial idea that infinite sets have different powers had been born for him, but not for most of his readers. Apparently due to the influence of Weierstrass, his presentation failed to emphasize that point. Cantor’s abstract viewpoint and the notion of power only became clear with his second paper [1878], which makes several references to the first one in order to place it in a new light [op.cit., 120, 126]. Cantor even felt the need to reformulate his 1874 proof five years later [Cantor 1879/84, part I], which underscores the peculiar nature of the 1874 article.

Keywords

Algebraic Number Irrational Number Continuum Hypothesis Infinite Order Topological Notion 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. 1.
    Cantor to Dedekind, June 1877 (the French sentence means, `I see it but I do not believe it.’). [Cantor and Dedekind 1937, 34]: “die Ihnen jüngst von mir zugegangenen Mittheilungen sind für mich selbst so unerwartet, so neu, dass ich gewissermassen nicht eher zu einer gewissen Gemüthsruhe kommen kann, als bis ich von Ihnen, sehr verehrter Freund, eine Entscheidung über die Richtigkeit derselben erhalten haben werde. Ich kann so lange Sie mir nicht zugestimmt haben, nur sagen: je le vois, mais je ne le crois pas.”Google Scholar
  2. 2.
    I shall translate Cantor’s Mächtigkeit into `power.’ A little care and attention to the context should suffice to avoid mistaking this notion with that of power set [Potenzmenge].Google Scholar
  3. 1.
    See, e.g., [Grattan-Guinness 1974, 125–26] and [Purkert and Ilgauds 1987, 73–75].Google Scholar
  4. 1.
    As the reader may recall (§III.6), the very beginning of an 1872 draft contains the extensional notion of set [System], the general notion of mapping, and Dedekind’s famous definition of infinite sets.Google Scholar
  5. 2.
    The fact that Klein gave him the assignment of refereeing Lindemann’s work on the transcendence of it suggests that he was regarded as an expert in irrational and transcendental numbers.Google Scholar
  6. 1.
    However, this might simply have been due to Cantor’s knowledge of Dedekind’s work [1871; 1872].Google Scholar
  7. 2.
    Compare the critical comments of Zermelo on Cantor’s remarks [1895/97] on the foundation of the number system [Cantor 1932, 352, notes 4 and 5]. It is true that an unpublished paper of 1885 [Grattan-Guinness 1970] included remarks on set theory as the foundation of pure mathematics, but there is reason to think that these remarks were made under the influence of Dedekind’s work (then still unpublished but known to Cantor since 1882, see §§VII.4 and VIII.3).Google Scholar
  8. 3.
    Cantor 1932, 456–57]: “Weit mehr allerdings, als es aus den Briefen ersichtlich wird, zeigen mittelbar die Verschiedenheiten in der Anlage der frühen und der späteren mengentheoretischen Veröffentlichungen Cantors den tiefgreifenden Einfluss der abstrakteren, mit Vorliebe analytisch vorgehenden Art Dedekinds, die nach abgerundeter Systematik drängt, gegenüber dem mehr konstruktiven Stil des jüngeren Cantors, der gerne zum Einzelstoss vorwärtsstürmt.” In [1930, 197], Fraenkel writes “logizistischen” instead of “mit Vorliebe analytisch vorgehenden.”Google Scholar
  9. 1.
    Cantor and Dedekind 1976, 261]: “die vielfache Anregung und reichliche Belehrung die ich aus Ihren ciassischen Schriften empfangen habe.”Google Scholar
  10. 2.
    Fraenkel 1930, 196]: “dieser Unterschied,Chrw(133) sowie dieChrw(133) fühlbare AltersdifferenzChrw(133) lassen im grossen und ganzen Cantor als den Fragenden und Nehmenden in diesem Briefwechsel erscheinen.”Google Scholar
  11. 3.
    Dugac overlooked parts of a letter of Nov. 1877 and another of Aug. 1899; both can be found in [Grattan-Guinness 1974, 112, 129].Google Scholar
  12. 4.
    See [Fraenkel 1930; Fraenkel in Cantor 1932], [Meschkowski 1967], [Grattan-Guinness 1971; 1974], [Dauben 1979] and [Purkert and Ilgauds 1987].Google Scholar
  13. 1.
    E.g., regarding the connections between a suggestion of Dedekind and a proof of Cantor [Dugac 1976, 117], and concerning Cantor’s interpretation of his theorem of 1878 [op.cit., 12122].Google Scholar
  14. 2.
    In May 1877 Cantor visited Dedekind in Braunschweig on his way back home from the Gaussfeier at Göttingen [Lipschitz 1986, 88]; in September 1882 they met twice, first at Harzburg and then at the Naturforscherversammlung in Eisenach [Cantor and Dedekind 1937, 55; 1976, 255–56]; in September 1899 they met for the last time, presumably at Harzburg, to discuss the set-theoretical paradoxes [op.cit., 260–62; Landau 1917, 54].Google Scholar
  15. 3.
    The same is true for shorter exchanges in Jan. 1879 and Jan. 1880 [Ferreirós 1993, 356–57].Google Scholar
  16. 4.
    See [Cantor and Dedekind 1976, 228–29 and 232–39], esp. [232, 233]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  17. 5.
    Dauben [1979, 2] remarks that it is revealing of Cantor’s personality that his friendships were intense but brief. But his difficulties with Dedekind were somewhat different from those experienced with Schwarz or Mittag-Leffler, in good measure due to the different personality of each partner.Google Scholar
  18. 1.
    Dauben [1979, 49] tried to link it directly to the discovery that first species sets have no effect on integration, but there is no evidence to support this conjecture — rather the contrary, for Cantor said he had considered the problem years before.Google Scholar
  19. 2.
    I should indicate that the most complete present-day edition of Cantor’s correspondence [Meschkowski and Nilson 1991] only includes excerpts from the correspondence with Dedekind, which are insufficient to judge some of the events we are going to discuss. Readers who may wish to scrutinize my narrative and interpretations more closely should keep this fact in mind.Google Scholar
  20. 1.
    Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  21. 2.
    Naturally, my impression that the notes are objective is also based on my views regarding Dedekind’s personality, as a result of the general impression obtained from reading many other letters to Cantor and others, etc. It is impossible to convey this to readers of the present work, and I must leave to other historians the task of making their own informed judgements about the issue.Google Scholar
  22. 1.
    Cantor and Dedekind 1937, 13]: “Der von Ihnen gelieferte Beweis, dass sich (n) den Körper aller algebraischen Zahlen eindeutig zuordnen lasse, ist ungefähr derselbe, wie ich meine Behauptung im vorigen Briefe erhärte. Ich nehme n12+n22+Chrw(133)+nv2 = gt und ordne darnach die Elemente.”Google Scholar
  23. 1.
    Cantor and Dedekind 1937, 181: “dieser Satz und Beweis ist bald darauf fast wörtlich, selbst mit dem Gebrauch des Kunstausdruckes Höhe, in die Abhandlung von Cantor in Crelle Bd. 77 übergegangen, nur mit der gegen meinen Rath festgehaltenen Abweichung, dass nur der Inbegriff aller reellen algebraischen Zahlen betrachtet wird.”Google Scholar
  24. 2.
    Cantor and Dedekind 1937, 17]: “Dabei kamen wir, wie Sie später finden werden, Ihre, mir so werthen, Bemerkungen und Ihre Ausdrucksweise sehr zu statten.”Google Scholar
  25. 1.
    Dedekind seems to have come to doubt the veracity of this independent simplification [Cantor and Dedekind 1937, 16, 19].Google Scholar
  26. 1.
    This corresponds to the first five lines of the last paragraph of [Cantor 1874, 117], that is, to the point where the existence of a°° and 3’° is inferred.Google Scholar
  27. 2.
    Cantor and Dedekind 1937, 19]: “Diesen, am 8. December erhaltenen Brief beantworte ich an demselben Tage mit einem Glückwunsch zu dem schönen Erfolg, indem ich zugleich den Kern des Beweises (der noch recht compliciert war) in grosser Vereinfachung `wiederspiegele’; diese Darstellung ist ebenfalls fast wörtlich in Cantor’s Abhandlung (Crelle Bd. 77) übergegangen; freilich ist die von mir gebrauchte Wendung `nach dem Prinzip der Stetigkeit’ an der betreffenden Stelle (S. 261, Z. 10–14) vermieden!”Google Scholar
  28. 3.
    Recall that Cantor’s related paper [1872] did not mention any `principle of continuity.’ [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  29. 4.
    His exact words are [Cantor and Dedekind 1937, 15]: “Es lässt sich nun stets wenigstens eine Zahl, ich will sie oil nennen, denken, welche im Innern eines jeden dieser Intervalle liegt; von dieser Zahl II, welche offenbar ’°,1, sieht man rasch, dass sie in keiner unserer ReihenChrw(133) enthalten sein kann.”Google Scholar
  30. 5.
    Cantor and Dedekind 1937, 16]: “ich schliesse daraus, dass es unter den Inbegriffen und Werthmengen Wesensverschiedenheiten giebt, die ich bis vor Kurzem nicht ergründen konnte.”Google Scholar
  31. 1.
    Cantor and Dedekind 1937, 17]: “er meinte, ich müsste die Sache, soweit sie sich auf die algebraischen Zahlen bezieht, veröffentlichen.”Google Scholar
  32. 1.
    Cantor 1874, 116]: “Ferner stellt sich der Satz in §.2 als der Grund dar, warum Inbegriffe reeller Zahlgrössen, die ein sogenanntes Continuum bilden (etwa die sämmtlichen reellen Zahlen, welche 0 und 1 sind) sich nicht eindeutig auf den Inbegriff (v) beziehen lassen; so fand ich den deutlichen Unterschied zwischen einem sogennanten Continuum und einem Inbegriffe von der Art der Gesammtheit aller reellen algebraischen Zahlen ”Google Scholar
  33. 2.
    Cantor and Dedekind 1976, 226]: “Die Bemerkung über den Wesenunterschied der Inbegriffe hätte ich sehr gut mit aufnehmen können, liess ihn auf Herrn Weierstrass Rat fort; könnte ihn aber als Randnote später, bei der Correctur, doch anbringen.”Google Scholar
  34. 3.
    In the summer of 1874 he gave a course where he stated that two “infinitely great magnitudes” are not comparable and can always be regarded as equal, and that applying the notion of equality to infinite magnitudes does not lead to any result (Hettner redaction, [Dugac 1973, 126]). This might perhaps be related to his opinions on infinite sets.Google Scholar
  35. 1.
    For further details on this topic, see [Ferreirós 1993, 35–52]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  36. 2.
    Cantor 1932, 71, 82, 84]. Nevertheless, his later problems with du Bois-Reymond and Harnack (chapter V) are somewhat reminiscent of those he had with Dedekind, though milder.Google Scholar
  37. 3.
    Frobenius to Dedekind, 1895 [Dugac 1976, 280; Ferreirós 1993, 351–52]. Cantor to Mittag-Leffler, 1883 [Meschkowski and Nilson 1991, 144].Google Scholar
  38. 4.
    Mentioned by Dedekind in conversation with Bernstein in 1911 [Dedekind 1930/32, vol. 3, 481]: “Er sagte: Sie kommen wohl, um zu sehen, ob ich nicht bald abgehe.”Google Scholar
  39. 1.
    Purkert and Ilgauds 1987, 154; Meschkowski and Nilson 1991, 414]: “Die Gelegenheit erhielt ich von ihm erst in diesem Herbst, da er mir aus mir unbekannten Gründen jahrelang gezürnt und die alte Correspondenz von 1871 seit 1874 circa abgebrochen hatte.” Italics in the original.Google Scholar
  40. 1.
    Cantor and Dedekind 1937, 20]: “Lässt sich eine Fläche (etwa ein Quadrat mit Einschluss der Begrenzung) eindeutig auf eine Linie (etwa eine gerade Strecke mit Einschluss der Endpunkte) eindeutig beziehen [sic], so dass zu jedem Puncte der Fläche ein Punct der Linie und umgekehrt zu jedem Puncte der Linie ein Punct der Fläche gehört?”Google Scholar
  41. 2.
    Cantor 1878, 122]: “Eine nach n Dimensionen ausgedehnte stetige Mannigfaltigkeit lässt sich eindeutig und vollständig einer stetigen Mannigfaltigkeit von einer Dimension zuordnen.” This is almost exactly the formulation of [Cantor and Dedekind 1937, 29].Google Scholar
  42. 1.
    Cantor 1878, 119]: “Wenn zwei wohldefinirte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, dass diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, dass sie äquivalent sind.”Google Scholar
  43. 1.
    Cantor 1878, 120]: “dieses Verhältniss hört gänzlich auf bei den unendlichen, d.i. aus einer unendlichen Anzahl von Elementen bestehenden Mannigfaltigkeiten.”Google Scholar
  44. 2.
    The reader will recall that Dedekind stated his definition for the first time in 1872 (§III.6). [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  45. 3.
    Dedekind to Weber, January 1888 [Dedekind 1930/32, vol. 3, 488]: “man besitzt bisweilen Etwas, ohne dessen Werth und Bedeutung gehörig zu würdigen.”Google Scholar
  46. 4.
    More precisely, Cantor mentions `finite fields’ [endliche Körper], i.e., finite extensions of (1:1). [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  47. 1.
    For a detailed analysis of this topic, including some remarks an this ‘inductive reasoning,’ see [Moore 1989]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  48. 2.
    Cantor 1878, 132–33]: “Durch ein Inductionsverfahren, auf dessen Darstellung wir hier nicht näher eingehen, wird der Satz nahe gebracht, dass die Anzahl derChrw(133) Klassen linearer Mannigfaltigkeiten eine endliche und zwar, dass sie gleich zwei ist./Darnach würden die linearen Mannigfaltigkeiten aus zwei Klassen bestehen, von denen die erste alle Mannigfaltigkeiten in sich fasst, welche sich auf die Form: functio ips. v (wo v alle positiven ganzen Zahlen durchläuft) bringen lassen; während die zweite Klasse alle diejenigen Mannigfaltigkeiten in sich aufnimmt, welche auf die Form: functio ips. x (wo x alle reellen Werthe 0 und 1 annehmen kann) zurückführbar sind.”Google Scholar
  49. 1.
    We shall see in §VII.4 that Dedekind was the first to prove it in 1887. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  50. 2.
    See [Cantor and Dedekind 1937, 29–33] or [Cantor 1878, 122–29]. An English exposition can be found in [Dauben 1979, 60–65].Google Scholar
  51. 1.
    Cantor and Dedekind 1937, 41]: “Ist e eine Veränd., welche alle irrationalen Werthe ’°,1 anzunehmen hat, x eine solche, welche alle rationalen und irrationalen Werthe, die 0 u. 1 sind, erhält, so ist:/e =_ x.” See [Cantor 1878, 129–30].Google Scholar
  52. 1.
    See [Meschkowski and Nilson 1991, 73ff]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  53. 1.
    Cantor and Dedekind 1937, 34]: “Nun scheint es mir, dass alle philosophischen oder mathematischen Deductionen, welche von jener irrthümlichen Voraussetzung Gebrauch machen, unzulässig sind. Vielmehr wird der Unterschied, welcher zwischen Gebilden von verschiedener Dimensionenzahl liegt, in ganz anderen Momenten gesucht werden müssen, als in der für characteristisch gehaltenen Zahl der unabhängigen Coordinaten.”Google Scholar
  54. 2.
    Cantor and Dedekind 1937, 38]: “Gelingt es, eine gegenseitig eindeutige und vollständige Correspondenz zwischen den Puncten einer stetigen Mannigfaltigkeit A von a Dimensionen einerseits und den Puncten einer stetigen Mannigfaltigkeit B von b Dimensionen andererseits herzustellen, so ist diese Correspondenz selbst, wenn a und b ungleich sind, nothwendig eine durchweg unstetige.”Google Scholar
  55. 1.
    Cantor and Dedekind 1937, 38]: “die Ausfüllung der Lücken zwingt Sie, eine grauenhafte, Schwindel erregende Unstetigkeit in der Correspondenz eintreten zu lassen, durch welche Alles in Atome aufgelöst wird, so dass jeder noch so kleine stetig zusammenhängende Theil des einen Gebietes in seinem Bilde als durchaus zerrissen, unstetig erscheint.”Google Scholar
  56. 2.
    For these developments, the reader may consult [Dauben 1979, 70–76] and above all Johnson’s work on the history of dimension theory [Johnson 1979; 1981].Google Scholar
  57. 3.
    Borel used it for a question of prolongation of analytical functions in his Ph.D. thesis, which also reformulated the notion of measure and gave the Heine—Borel theorem (see [Hawkins 1980]).Google Scholar
  58. 1.
    See [Cantor and Dedekind 1976, 230]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  59. 2.
    See especially the letter of January 1880 in [Cantor and Dedekind 1976, 233]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  60. 3.
    Grattan-Guinness 1974, 112]: “Die Hinziehung von Seiten des Journals ist mir um so unerklärlicher, als ich während meines Berliner Aufenthaltes jüngst mit unseren älteren Fachgenossen, welche dem Journal sehr nahe stehen, über den Inhalt der Arbeit ausführlich gesprochen und von keiner Seite ein sachliches Bedenken dagegen gefunden habe. Im Gegentheil war allen die Frage neu und sie waren sehr erstaunt über das, ja auch für mich unerwartet gewesene Resultat, für welches sie jedoch die völlig richtige Beweisführung anerkannten.”Google Scholar
  61. 1.
    As a matter of fact, no delay is apparent from the volume of the Journal in question (no. 84)—quite the opposite, for another paper written at an earlier date is printed after Cantor’s.Google Scholar
  62. 2.
    See [Dugac 1976, 253–54; Edwards 1980, 368–72]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  63. 3.
    As quoted by Cantor in his answer [Schoenflies 1927, 5–6]: “dass die Ergebnisse der modernen Funktionentheorie und Mengenlehre von keiner realen Bedeutung sindChrw(133) mit derselben Unparteilichkeit in die Acta aufnehmen, wie die Untersuchungen ihres Freundes Cantor.”Google Scholar
  64. 1.
    Schoenflies 1927, 5]: “Es ist höchst verdächtig, dass er das Produkt des in ihm wider die Funktionentheorie und Mengenlehre angesammelten Giftes gerade Ihnen für Ihr Journal anbieten lässt; ich vermute, dass er hiermit keine andere Absicht verfolgt, als mich oder vielmehr meine Aufsätze auch aus den «Acta» zu vertreiben, da ihm dasselbe mit Bezug auf das «Crellesche Journal» durchaus gelungen ist. Der Grund warum ich seit sieben Jahren nichts dorthin geschickt, ist kein anderer, als dass ich für immer jede Gemeinschaft mit Herrn Kr. perhorresziere.”Google Scholar
  65. 2.
    See the letter of Mittag-Leffler in [Meschkowski 1967, 246]. When Cantor, after his depressive crisis in 1884, attempted a reconciliation with Kronecker, he treated him in a kind and respectful way [Schoenflies 1927, 9–13; Meschkowski 1967, 248–52].Google Scholar
  66. 3.
    Cantor realized this very well; in his [1883] one finds an inspired defense of abstract mathematics, that will be considered in chapter VIII.Google Scholar
  67. 1.
    The way in which Cantor treated the issue of the theorem of denumerability of algebraic numbers might reveal the advancement of his mental illness. He seems to have tended to suppress memory of the events: in January 1882 he wrote to Dedekind himself of “the serial ordering of all algebraic numbers, discovered by myself eight years ago” [Cantor and Dedekind 1976, 248] (compare [Cantor 1878, 126], where he mentions the theorem “presented by me”).Google Scholar
  68. 2.
    See his letters from 1882 to 1884 in [Meschkowski and Nilson 1991], especially [59–61, 65, 127–29, 162–73, 192–201]. As he wrote in August, probably under the influence of his physician and his wife, the crisis had not been caused by the fatigues of working, but by “frictions that I could reasonably have avoided” [Schoenflies 1927, 9].Google Scholar
  69. 3.
    See especially [Grattan-Guinness 1974, 116–23; Dugac 1976, 126–29]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  70. 4.
    This seems to conflict with my interpretations. The explanation might be found in his courtesy, or in the good sentiments that Cantor’s proposal aroused; it might even be that Dedekind had already come to the conclusion that there was something wrong in Cantor’s personality.Google Scholar
  71. 1.
    Grattan-Guinness [1971; 1974] assumed it was because Cantor felt offended by Dedekind’s negative answer to the Halle offering, but as we have seen the situation was much more complex; besides, it was Dedekind who left the letters unanswered.Google Scholar
  72. 2.
    See [Schoenflies 1927; Grattan-Guinness 1970; Purkert and Ilgauds 1987, 79–101]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  73. 1.
    Cantor 1879/84, 156]: “Die meisten principiellen Schwierigkeiten, welche in der Mathematik gefunden werden, scheinen mir ihren Ursprung darin zu haben, dass die Möglichkeit einer rein arithmetischen Grössen und Mannichfaltigkeitslehre verkannt wird.”Google Scholar
  74. 2.
    This interpretation is consistent with the way in which he approached results in set theory, see above and §V.5.Google Scholar
  75. 1.
    The definition was actually given in 1883 (see §VI.7). In the light of the crucial role that continuous manifolds played in Riemann’s work, that promise might seem to support the interpretation of Cantor’s projects given above.Google Scholar
  76. 2.
    The note did not find its way into Zermelo’s edition of his treatises; see [Cantor 1984, 55] or Mathematische Annalen 17 (1880), 358.Google Scholar
  77. 1.
    Notation for union and intersection was at least suggested by Dedekind’s work, since he employed Gothic m and d for the least common multiple and greatest common divisor of two ideals [1871, 252–53].Google Scholar
  78. 2.
    Since this terminology makes little sense in the context of point-set theory, or of abstract set theory (Dedekind himself replaced it for this purpose in 1872), the question of its origins seems to be beyond doubt.Google Scholar
  79. 1.
    Cantor 1879/84, 1481: “wir sehen hier eine dialektische Begriffserzeugung, welche immer weiter führt und dabei frei von jeglicher Willkür in sich nothwendig und consequent bleibt.”Google Scholar
  80. 2.
    It is impossible here to discuss Cantor’s work of the 1880s in full detail. See [Dauben 1979, chs. 4–5] and [Hallett 1984, 81–98].Google Scholar
  81. 1.
    See the correspondence of both mathematicians in [Meschkowski and Nilson 1991, 88–89]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  82. 1.
    Cantor 1879/84, 218]: “In Wirklichkeit stellt sich zwarChrw(133) die Sache so, dass bei den Punktmengen innerhalb eines beliebigen Gebietes G, strenggenommen nur diejenigen Ableitungen eine Rolle spielen, deren Ordnungszahl der ersten oder zweiten Zahlenclasse angehört. Es zeigt sich nämlich die höchst merkwürdige Thatsache, dass fir jede Punktmenge P von einer gewissen Ordnunszahl a an, welche der ersten oder zweiten Zahlenclasse, jedoch keiner höheren Zahlenclasse angehört, die Ableitung P(a) entweder 0 oder eine perfecte Menge wird; daraus folgt, dass die Ableitungen höherer Ordnung als a mit der Ableitung P(a) sänuntlich identisch sind, ihre Inbetrachtnahme daher überflüssig wird.”Google Scholar
  83. 1.
    Dedekind’s method can be applied to ordered spaces, while Cantor’s is the one to be used for metric spaces. This is how Hausdorff employed them in his epoch-making handbook [1914].Google Scholar
  84. 1.
    In connection with previous work by du Bois-Reymond and Harnack, he proved that if a set P is bounded and has a denumerable derived set P’, then it has content zero [Cantor 1879/84, 160–61]. This is an example of the central role Cantor expected the notion of power to play in mathematics generally.Google Scholar
  85. 2.
    On this topic, see [Hallett 1984,74–118] and especially [Moore 1989]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  86. 3.
    Since P is denumerable, it can be put into the form of a sequence (p„); any neighbourhood of every p„ contains infinitely many points of P, since it is dense-in-itself. On this basis, Cantor defines a sequence of nested spheres that determine a limit point of P not belonging to (p„).Google Scholar
  87. 1.
    Nevertheless, this simple proof presupposes the then unproven Cantor—Bernstein theorem, thus Cantor had to give a rather prolix proof for the general case, see [1879/84, 241–43].Google Scholar
  88. 1.
    This argument can be found in an 1886 letter to Vivanti [Moore 1989, 94]. [Cantor and Dedekind 1937, 121: “Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrössen x und bezeichne ihn mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein und nur eines des andern gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein es ist nicht möglich, denn (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, dass (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist es mir zu thun, vielleicht ist er ein sehr einfacher.”Google Scholar
  89. 2.
    Cantor 1879/84, 244]: “Wir haben also folgenden Satz:/Eine unendliche abgeschlossene lineare Punktmenge hat entweder die erste Mächtigkeit oder sie hat die Mächtigkeit des Linear-continuums, sie kann also entweder in der Form Funct. (v) oder in der Form Funct. (x) gedacht werdenChrw(133)/Dass dieser merkwürdige Satz eine weitere Gültigkeit auch für nicht abgeschlossene lineare Punktmengen und ebenso auch fir alle n-dimensionalen Punktmengen hat, wird in späteren Paragraphen bewiesen werdenChrw(133)./Hieraus wird mit Hülfe der in B. XXI, pag. 582 bewiesenen Sätze geschlossen werden, dass das Linearcontinuum die Mächtigkeit der zweiten Zahlenclasse (II.) hat.”Google Scholar
  90. 3.
    For instance, Hausdorff and Aleksandrov established in 1916 that CH holds for the Borel sets, see [Hallett 1984, 98–118; Moore 1989; Kanamori 1996, §§2.3 and 2.5].Google Scholar
  91. 1.
    A homogeneous set P is characterized as being dense-in-itself, and such that sufficiently narrow neighborhoods of its elements always contain parts of P of the same power [Cantor 1932, 265]; for the definitions of coherence, adherence and inherence, see [op.cit., 265, 270]. On the connection between these ideas and the CH, see [Cantor 1932, 264; Schoenflies 1927, 17].Google Scholar
  92. 2.
    Schoenflies 1927, 171: “Und als ich in diesen Tagen wieder mich um denselben Zweck abmüthe, da fand ich was? Ich fand einen strengen Beweis dafür, dass das Continuum nicht die Mächtigkeit der zweiten Zahlklasse und noch mehr, dass es überhaupt keine durch eine Zahl angebbare Mächtigkeit hat./So fatal ein Irrthum, den man so lange gehegt hat, auch sei, die endgültige Beseitigung ist dafür ein um so grösserer Gewinn.”Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1999

Authors and Affiliations

  • José Ferreirós
    • 1
  1. 1.Dpto. de Filosofía y Lógica, Avda. San Francisco Javier, s/nUniversidad de SevillaSevillaSpain

Personalised recommendations