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Origins of the Theory of Point-Sets

  • José Ferreirós
Chapter
Part of the Science Networks. Historical Studies book series (SNHS, volume 23)

Abstract

In the 1870s the theory of functions of a real variable consolidated into an autonomous branch of mathematics. Its initial development was intimately related to the theory of trigonometric series, a subject in which Dirichlet’s work was a milestone. Point-set theory was initially developed as a tool for the study of trigonometric series and real functions. Early steps in this direction were taken by Dirichlet, Lipschitz and Hankel, but Cantor’s work on derived sets was considerably more sophisticated than the previous rather rough ideas regarding possibilities for point-sets (i.e., subsets of ℝ).

Keywords

Integration Theory Trigonometric Series Discontinuous Function Exceptional Point Content Zero 
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References

  1. 1.
    Hankel 1870, 70]: “Ich verdanke die Anregung zu diesen Studien wesentlich Riemann’s Schriften, in’s Besondere seiner glänzenden Arbeit über die trigonometrischen Reihen, nach deren Erscheinen es keiner Entschuldigung mehr bedarf; sich mit diesen Fragen zu beschäftigen, welche, wie ihr Verfasser in Uebereinstimmung mit Dirichlet bemerkt, `mit den Principien der Infinitesimalrechnung in der engsten Verbindung stehen und dazu dienen können, diese zu grösserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen.”’ The quote, not completely literal, comes from [Riemann 1854a, 238]; compare [Dirichlet 1829, 169].Google Scholar
  2. 2.
    One of the very few critics of the Riemann integral would be Weierstrass in the 1880s, see [Dugac 1973, 141].Google Scholar
  3. 1.
    Ulisse Dini published the first advanced textbook on the topic, Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali [ 1878 ]. The work includes a modem definition of the real numbers, following Dedekind, a detailed discussion of Cantor’s derived sets, and original contributions to the theory of derivation.Google Scholar
  4. 2.
    Still, there was a long intellectual journey before a satisfactory notion of measure was reached that would make it possible to supersede the Riemann integral. On this topic, see [Hawkins 1970] and his brief summary [ 1980 ].Google Scholar
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    As is well known, Fourier series have an extremely interesting prehistory in connection with the 18th-century problem of the vibrating string, see the above-mentioned books by Hawkins and Dauben, [Grattan-Guinness 1980], [Bottazzini 1986], and even [Riemann 1854a ].Google Scholar
  6. 2.
    See the already mentioned works, especially [Hawkins 1970] and [Bottazzini 1986], and also [Youschkevitch 1976] and [Dugac 1981a].Google Scholar
  7. 1.
    Dirichlet 1837, 135–136]: “Es ist dabei gar nicht nöthig, dass y in diesem ganzen Intervalle nach demselben Gesetze von x abhängig sei, ja man braucht nicht einmal an eine durch mathematische Operationen ausdrückbare Abhängigkeit zu denkenChrw(133). Diese Definition schreibt den einzelnen Theilen der Curve gar kein gemeinsames Gesetz vor; man kann sich dieselbe aus den verschiedenartigsten Theilen zusammengesetzt oder ganz gesetzlos gezeichnet denkenChrw(133). So lange man über eine Function nur fir einen Theil des Intervalls bestimmt hat, bleibt die Art ihrer Fortsetzung fir das übrige Intervall ganz der Willkür überlassen.”Google Scholar
  8. 2.
    This formulation, couched in slightly different language, was given for the first time by Dedekind [1888]; see §§III.6 and VII.2.Google Scholar
  9. 1.
    Hankel 1870, 67]: “Diese reine Nominaldefinition, der ich im Folgenden den Namen Dirichlet’s beilegen werde,Chrw(133) reicht nun aber für die Bedürfnisse der Analysis nicht aus, da Functionen dieser Art allgemeine Eigenschaften nicht besitzen.”Google Scholar
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    Grattan-Guinness 1980, chap. 3], [Bottazzini 1986, chap. 5].Google Scholar
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    Dirichlet 1829, 169]: “Il est nécessaire qu’alors la fonction 0(x) soit telle que, si l’on désigne par a et b deux quantités quelconques comprises entre -n et n, on puisse toujours placer entre a et b d’autres quantités r et s assez rapprochées pour que la fonction reste continue dans l’intervalle de r à s. On verra alors que l’intégrale d’une fonction ne signifie quelque chose qu’autant que la fonction satisfait à la condition précédemment énoncée.”Google Scholar
  12. 1.
    Riemann 1854a, 239]: “Ueber den Begriff eines bestimmten Integral und den Umfang seiner Gültigkeit.” Here we find, again, the traditional logical terminology; see §II.2.Google Scholar
  13. 2.
    Riemann 1854a, 2411: “Damit die Summe S, wenn sämtliche S unendlich klein werden, convergirt, ist ausser der Endlichkeit der Function f(x) noch erforderlich, dass die Gesammtgrösse der Intervalle, in welchen die Schwankungen 6 sind, was auch a sei, durch geeignete Wahl von d beliebig klein gemacht werden kann.”Google Scholar
  14. 1.
    Riemann 1854a, 244]: “Wenn eine Function durch eine trigonometrische Reihe darstellbar ist, was folgt daraus über ihren Gang, über die Aenderung ihres Werthes bei stetiger Aenderung des Arguments?”Google Scholar
  15. 1.
    The notion of uniform convergence would be introduced by Weierstrass. 2 [Riemann 1854a, 248]: “Lehrsatz 2.Chrw(133) wird stets mit a unendlich klein.”Google Scholar
  16. 1.
    In this he follows Montel, who translated Lipschitz’s paper into French (Acta Mathematica, vol. 36, 1912); see [Hawkins 1970, 14–15].Google Scholar
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    Cantor came to work on this topic through Heine, who quotes Lipschitz in his [1870]. [Hankel 1870, 70]: “Ich verdanke die Anregung zu diesen Studien wesentlich Riemann’s Schriften, in’s Besondere seiner glänzenden Arbeit über die trigonometrischen Reihen, nach deren Erscheinen es keiner Entschuldigung mehr bedarf; sich mit diesen Fragen zu beschäftigen, welche, wie ihr Verfasser in Uebereinstimmung mit Dirichlet bemerkt, `mit den Principien der Infinitesimalrechnung in der engsten Verbindung stehen und dazu dienen können, diese zu grösserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen.”’ The quote, not completely literal, comes from [Riemann 1854a, 238]; compare [Dirichlet 1829, 169].Google Scholar
  18. 2.
    In this he reminds one of Weierstrass, whose classes he attended. [Hankel 1870, 70]: “Ich verdanke die Anregung zu diesen Studien wesentlich Riemann’s Schriften, in’s Besondere seiner glänzenden Arbeit über die trigonometrischen Reihen, nach deren Erscheinen es keiner Entschuldigung mehr bedarf; sich mit diesen Fragen zu beschäftigen, welche, wie ihr Verfasser in Uebereinstimmung mit Dirichlet bemerkt, `mit den Principien der Infinitesimalrechnung in der engsten Verbindung stehen und dazu dienen können, diese zu grösserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen.”’ The quote, not completely literal, comes from [Riemann 1854a, 238]; compare [Dirichlet 1829, 169].Google Scholar
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    Cantor would propose a refinement of this principle of condensation of singularities in 1882; see [Cantor 1932, 106–13].Google Scholar
  20. 4.
    Hankel 1870, 87]: “Wenn auf einer Strecke eine Schaar von Punkten liegt, denen eine gewisse Eigenschaft zukommt, so sage ich, dass diese Punkte/die Strecke erfüllen, wenn in der Strecke kein noch so kleines Intervall angegeben werden kann, in dem nicht wenigstens Ein Punkt jener Schaar läge;/dass dagegen diese Schaar von Punkten die Strecke nicht erfüllen, sondern die Punkte zerstreut auf ihr liegen, wenn zwischen je zwei beliebig nahen Punkten der Strecke immer ein Intervall angegeben werden kann, in dem kein Punkt jener Schaar liegt.”Google Scholar
  21. 1.
    It was published as a Gratulationsprogramm of Tübingen University; as late as 1882 it was reprinted in Mathematische Annalen.Google Scholar
  22. 1.
    Heine 1870, 353]: “durch die Arbeiten von Dirichlet, Lipschitz und Riemann ist daher nur festgestellt, dass eine Function von x in einer Anzahl von Fällen sehr allgemeiner Natur sich in eine Reihe von der Form (V.), deren Coefficienten bekannt sind, entwickeln lasse, aber nicht, auf wie viele Arten die Entwickelung geschehen könne.”Google Scholar
  23. 1.
    See [Cantor 1932, 82–83]. The correspondence between Schwarz and Cantor can be found in [Purkert and Ilgauds 1987, 21].Google Scholar
  24. 2.
    Meschkowski 1967, 240]: “Du kannst mir glauben, ich bin stolz darauf, dass die Berliner mathematische Schule, der wir beide angehören, einen Triumph feiern kann, wieder ein greifbares Resultat, durch welches eine wichtige wissenschaftliche Frage vollständig beantwortet wird. Du wirst, wenn Du es nicht schon bemerkt hast, immer mehr wahrnehmen, welche grosse Bedeutung der ausgezeichneten Schule beizulegen ist, die wir genossen haben und welches Übergewicht uns diese Angewöhnung an peinliche Sorgsamkeit bei Beweisen gewährt, den mathematischen ”Romantikern“ und ”Poeten“ gegenüber. Gegenwärtig ist mir keine mathematische Schule bekannt, welche ihren Schülern ein so solides Fundament zu geben vermag, wie die Berliner.”Google Scholar
  25. 1.
    Cantor 1872, 98]: “Es kann eintreffen, und dieser Fall ist es, welcher uns hier ausschliesslich interessiert, dass nach v Übergängen die Menge P09 aus einer endlichen Anzahl von Punkten besteht, mithin selbst keine abgeleitete Menge hat; in diesem Falle wollen wir die ursprüngliche Punktmenge P von der v1en Art nennen, woraus folgt, dass alsdann P’, P’;Chrw(133) von der v-1ten v-2ten, Art sind./Es wird also bei dieser Auffassungsweise das Gebiet aller Punktmengen bestimmter Art als ein besonderes Genus innerhalb des Gebietes aller denkbaren Punktmengen betrachtet, von welchem Genus die sogennanten Punktmengen vier Art eine besondere Art ausmachen.”Google Scholar
  26. 2.
    Cantor 1984, 55] (this is a footnote to the last page of [1879/84], part 2, which did not find its place in the Abhandlungen). Since Cantor showed at times an eagerness to anticipate the dates of his findings and publications, his word on this issue cannot be trusted completely. An example of such eagerness is his crucial Grundlagen [1883], which Cantor signed October 1882 even though we know from letters to Mittag-Leffler and Klein that he kept sending new material during the early months of 1883 [Cantor 1991, 95, 107, 109, 111].Google Scholar
  27. 1.
    See letters of 1878 and 1880 in [Cantor and Dedekind 1937, 42–43; Cantor and Dedekind 1976, 233–34, 238].Google Scholar
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    An example is the following. If f is an integrable function and g is a bounded function such that f(x) = g(x) except at a point-set of the first species, then g too is integrable and has the same integral as f [Dini 1878, §18 s s]Google Scholar
  29. 1.
    As indicated by Hawkins [1870, 40], the reviewer for Fortschritte der Mathematik did not realize the theoretical importance of Smith’s examples; he did not even mention them.Google Scholar
  30. 2.
    See Cantor’s letter of Jan. 1879 in [Cantor and Dedekind 1976, 232]. [Hankel 1870, 70]: “Ich verdanke die Anregung zu diesen Studien wesentlich Riemann’s Schriften, in’s Besondere seiner glänzenden Arbeit über die trigonometrischen Reihen, nach deren Erscheinen es keiner Entschuldigung mehr bedarf; sich mit diesen Fragen zu beschäftigen, welche, wie ihr Verfasser in Uebereinstimmung mit Dirichlet bemerkt, `mit den Principien der Infinitesimalrechnung in der engsten Verbindung stehen und dazu dienen können, diese zu grösserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen.”’ The quote, not completely literal, comes from [Riemann 1854a, 238]; compare [Dirichlet 1829, 169].Google Scholar
  31. 1.
    The idea may have been suggested by an example of non-integrable function given by Hankel, see [Hawkins 1970, 30–31].Google Scholar
  32. 1.
    du Bois 1880, 128]: “Auf diese Art der Intervallvertheilung, zu der ich verschiedene Beispiele bei der Hand habe, wird man geführt, wenn man die Verdichtungspunkte der Ordnung 0o aufsucht, deren Vorhandensein ich vor jahren Herrn Cantor in Halle brieflich anzeigte. Auf diese Vertheilung, ferner auf die Verdichtungspunkte endlicher und unendlicher Ordnung von immer kleiner werdenden Strecken, endlich auf meine Wahl des Ausdrucks `pantachisch’ verglichen mit dem später von Herrn Cantor angenommenen überalldicht gedenke ich bei einer anderen Gelegenheit einzugehen.”Google Scholar
  33. 1.
    The frictions between du Bois, Harnack and Cantor left traces in the latter’s correpondence; see particularly [Cantor 1991].Google Scholar
  34. 2.
    Volterra published in Giornale di Matematiche, in 1881, a paper on `pointwise discontinuous’ functions; the title shows the influence of Hankel. He criticized the Dirichlet conjecture essentially as Smith, and on the same basis he gave an example of a function g whose derivative g’ is not Riemann integrable. This confirmed a conjecture of Dini, see [Hawkins 1970, 52–53].Google Scholar
  35. 1.
    This time he does not mention other mathematicians; see his letter to Klein, having to do with Hamack, where he says that it was due to `Nachlässigkeit’ and not to ‘bösem Willen’ [Purkert and Ilgauds 1987, 191–93].Google Scholar
  36. 2.
    See [Cantor 1879/84, 229–36] and [Hawkins 1970, 61–63]. [Hankel 1870, 70]: “Ich verdanke die Anregung zu diesen Studien wesentlich Riemann’s Schriften, in’s Besondere seiner glänzenden Arbeit über die trigonometrischen Reihen, nach deren Erscheinen es keiner Entschuldigung mehr bedarf; sich mit diesen Fragen zu beschäftigen, welche, wie ihr Verfasser in Uebereinstimmung mit Dirichlet bemerkt, `mit den Principien der Infinitesimalrechnung in der engsten Verbindung stehen und dazu dienen können, diese zu grösserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen.”’ The quote, not completely literal, comes from [Riemann 1854a, 238]; compare [Dirichlet 1829, 169].Google Scholar
  37. 1.
    In 1885, Cantor wrote that pure mathematics is pure set theory (see [Grattan-Guinness 1970, 84]) and after this time he published some ideas concerning the set-theoretical foundations of number. By this time, however, he was well acquainted with Dedekind’s work (chapter V II ).Google Scholar
  38. l See, e.g., [Johnson 1979/81, part 1, 163]. [Hankel 1870, 70]: “Ich verdanke die Anregung zu diesen Studien wesentlich Riemann’s Schriften, in’s Besondere seiner glänzenden Arbeit über die trigonometrischen Reihen, nach deren Erscheinen es keiner Entschuldigung mehr bedarf; sich mit diesen Fragen zu beschäftigen, welche, wie ihr Verfasser in Uebereinstimmung mit Dirichlet bemerkt, `mit den Principien der Infinitesimalrechnung in der engsten Verbindung stehen und dazu dienen können, diese zu grösserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen.”’ The quote, not completely literal, comes from [Riemann 1854a, 238]; compare [Dirichlet 1829, 169].Google Scholar
  39. 2.
    For detailed analysis, the reader may consult [Cooke 1993] and the summary given by Kanamori [1996], as well as older accounts like [Schoenflies 1900/08; Schoenflies 1913]. Some important development after 1900 are discussed in [Johnson 1979/81].Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1999

Authors and Affiliations

  • José Ferreirós
    • 1
  1. 1.Dpto. de Filosofía y Lógica, Avda. San Francisco Javier, s/nUniversidad de SevillaSevillaSpain

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