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The Real Number System

  • José Ferreirós
Part of the Science Networks. Historical Studies book series (SNHS, volume 23)

Abstract

From what we have seen in the preceding chapters, around 1870 there were several indications that the notion of set might prove of fundamental importance for algebra, function theory, and even geometry. In the next chapter we shall consider another line of development, consolidated around that time, which led mathematicians working on real functions to pay attention to point-sets. In the present chapter we consider more elementary questions in analysis that also stimulated the emergence of a theory of sets, and which firmly established the conception of pure mathematics as the science of number. This conception was crucial for Weierstrass, Dedekind and Cantor, the central (German) figures in the rigorization of the real number system. Each one of them presented a rigorous definition of the real numbers, together with basic notions and results on the topology of ℝ.

Keywords

Real Number Rational Number Limit Point Number System Trigonometric Series 
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References

  1. 1.
    Leibniz 1704, book II, chap. 16]: “La distinction precise des idées dans l’Etendue ne consiste pas dans la grandeur: car pour reconnoistre distinctement la grandeur, il faut recourir aux nombres entiers, ou aux autres connus par le moyen des entiers, ainsi de la quantité continue il faut recourir à la quantité discrete, pour avoir une connaissance distincte de la grandeur.”Google Scholar
  2. 2.
    Dedekind 1888, 340]: “Um so schöner scheint es mir, dass der Mensch ohne jede Vorstellung von messbaren Grössen, und zwar durch ein endliches System einfacher Denkschritte sich zur Schöpfung des reinen, stetigen Zahlenreiches aufschwingen kann; und erst mit diesem Hilfsmittel wird es ihm nach meiner Ansicht möglich, die Vorstellung vom stetigen Raume zu einer deutlichen auszubilden.”Google Scholar
  3. 1.
    For the approach of Cauchy, see [Kline 1972; Grattan-Guinness 1980; Bottazzini 1986]. A more specialized discussion can be found in [Grabiner 1981 ]. On its implantation in Germany, [Jahnke 1987].Google Scholar
  4. 2.
    It seems that, in the 1860s and 70s, he used to refer to it in his lectures, and admitted that he had taken up (and perfected) Bolzano’s methods; see the 1870 letter from Schwarz to Cantor in [Meschkowski 1967, 239], and the Hettner redaction [Weierstrass unp., 304]; Schwarz is also mentioned in connection with Bolzano in [Dedekind 1930/32, vol. 2, 356–57].Google Scholar
  5. 1.
    This is the well-known principle of the permanence of equivalent forms, that was formulated around the same time by Peacock in Britain, and which can still be found in Hankel [1867].Google Scholar
  6. 2.
    See, e.g., his critical comments on [Kossak 1872] in a letter to Schwarz quoted in [Dugac 1973, 144].Google Scholar
  7. 1.
    Klein, who knew him personally, used to call him a “logician” [Klein 1926, vol. 1, 152, 246].Google Scholar
  8. 2.
    It is in this sense that they prepare the axiomatic orientation, though of course their approach is still far from 20th-century axiomatics with its emphasis on absolute freedom to set up consistent axiom systems. Even the notion of axiom evolved in the process (§3).Google Scholar
  9. 1.
    Euclidian or projective models for non-Euclidean geometry were given by Beltrami in 1868 and Klein in 1871; see [Kline 1972, chap. 38], [Gray 1989 ]. Hilbert’s approach to the reals grew out of his work on the foundations of geometry; it seems that in 1899 he was still far from focusing on consistency, not to mention formal consistency proofs.Google Scholar
  10. 2.
    Quoted in [Grattan-Guinness 1980, 438].Google Scholar
  11. 3.
    Quoted in [Pycior 1983, 216]. I have to say that I do not agree with Pycior’s interpretation of De Morgan’s attitudes toward symbolical algebra; see [Ferreirós 1990; 1991].Google Scholar
  12. 1.
    Thus, in my opinion, the rise of axiomatics cannot be seen as a direct development of formalistic approaches; moreover, it is incorrect and anachronistic to regard the British school of symbolical algebra as a purely formalistic movement (see [Ferreirós 1990], and compare [Pycior 1987]).Google Scholar
  13. 2.
    See [Dugac 1970, 1973, 1976] and his summarizing presentation in [Dieudonné 1978]. For early works, see [Pringsheim 1898], [Jourdain 1910], [Cavaillès 1962 ]. Perhaps I should add that the discussion in [Kline 1972, chap. 41] is not reliable.Google Scholar
  14. 3.
    Dugac employs redactions by Schwarz (1861), Hettner (1874), Hurwitz (1878) and Thiéme (1886), and also the expositions of Kossak [1872] (based on the course of 1865/66) and Pincherle [1880] (based on the 1878 course). Ullrich has studied redactions by Killing (1868) and Kneser (1880/81), beyond the already mentioned ones of Heffner and Hurwitz, which seem to be particularly reliable [Ullrich 1989, 149]. Hurwitz’s redaction has been published as [Weierstrass 1988 ].Google Scholar
  15. 1.
    Compare Dedekind’s explanation of the notion of set as the mental gathering of different things, which, for any reason, are regarded from a common viewpoint [Dedekind 1888, 344].Google Scholar
  16. 1.
    Cantor 1883, 184–85]: “Man sieht, dass hier das Erzeugungsmoment, welches die Menge mit der durch sie zu definirenden Zahl verknüpft, in der Summenbildung liegt; doch muss als wesentlich hervorgehoben werden, dass nur die Summation einer stets endlichen Anzahl von rationalen Elementen zur Anwendung kommt und nicht etwa von vornherein die zu definirende Zahl b als die Summe /an der unendlichen Reihe (a,) gesetzt wird; es würde hierin ein logischer Fehler liegen, weil vielmehr die Definition der Summe). a„ erst durch Gleichsetzung mit der nothwendig vorher schon definirten, fertigen Zahl b gewonnen wird. Ich glaube, dass dieser erst von Herrn Weierstrass vermiedene logische Fehler in früheren Zeiten fast allgemein begangen und aus dem Grunde nicht bemerkt worden ist, weil er zu den seltenen Fällen gehört, in welchen wirkliche Fehler keinen bedeutenderen Schaden im Calcül anrichten können.”Google Scholar
  17. 2.
    On a subtler level, one may notice that Weierstrass employs freely the universal quantifier (see, e.g., the convergence criterion that he employed). Most likely, no author of this early period was able to understand the implications of such a move (see chapter X).Google Scholar
  18. 1.
    Heine [1872, 173] and the disciples of Weierstrass usually regarded Cantor’s theory as a particularly fortunate version of Weierstrass’s theory. For a detailed study, see [Dauben 1979 ].Google Scholar
  19. 2.
    Heine published his paper in the Journal fir die reine und angewandte Mathematik, giving due credit to his younger colleague; interestingly, Cantor published in the Mathematische Annalen, then the semi-official journal of the Göttingen school of Clebsch.Google Scholar
  20. 1.
    Cantor 1872, 92–93]: “Wenn ich von einer Zahlengrösse im weiteren Sinne rede, so geschieht es zunächst in dem Falle, dass eine durch ein Gesetz gegebene unendliche Reihe von rationalen Zahlen:Chrw(133) vorliegt, welche die Beschaffenheit hat, dass die Differenz an+m–an mit wachsendem n unendlich klein wird, was auch die positive ganze Zahl m sei, oder mit anderen Worten, dass bei beliebig angenommenem (positiven, rationalen) e eine ganze Zahl n1 vorhanden ist, so dass I an+m–an l e, wenn n ? nj und wenn m eine beliebige positive ganze Zahl ist/Diese Beschaffenheit der Reihe (1) drücke ich in den Worten aus: ”Die Reihe (1) hat eine bestimmte Grenze b.“”Google Scholar
  21. 2.
    As we saw, Dedekind employed them in his algebraic work of 1857, and later (1870s and 80s) in connection with his theory of the integers; see §VII.3.Google Scholar
  22. 1.
    Cantor 1872, 95]: “in [der hier dargelegten Theorie] die Zahlengrösse, zunächst an sich im Allgemeinen gegenstandlos, nur als Bestandtheil von Sätzen erscheint, welchen Gegenständlichkeit zukommt.”Google Scholar
  23. 2.
    Cantor 1872, 95]: “bei der hier dargelegten TheorieChrw(133) [ist es] wesentlich, an dem begrifflichen Unterschiede der beiden Gebiete B und C festzuhalten, indem ja schon die Gleichsetzung zweier Zahlengrössen b, b’ aus B ihre Identität nicht einschliesst, sondern nur eine bestimmte Relation ausdrückt, welche zwischen den Reihen stattfindent, auf welche sie sich beziehen.”Google Scholar
  24. 1.
    As a matter of fact, Cantor did not normally employ sets whose elements are in turn sets in his work, not even in his mature work of the 1890s. His tendency to work with sets whose elements are (intuitively considered) simple, may explain why he never rounded off his theory of DR by using equivalence classes.Google Scholar
  25. 2.
    Cantor 1872, 95]: “Auf die Form solcher Gleichsetzungen lassen sich die Resultate der Analysis (abgesehen von wenigen bekannten Fällen) zurückführen, obgleich (was hier nur mit Rücksicht auf jene Ausnahmen berührt sein mag) der Zahlenbegriff, soweit er hier entwickelt ist, den Keim zu einer in sich nothwendigen und absolut unendlichen Erweiterung in sich trägt.”Google Scholar
  26. 3.
    The issue of the real numbers of higher kinds and their relation with the theorems and formulas of analysis would be worthy of a detailed study, which certainly would prove difficult.Google Scholar
  27. 1.
    Actually, on Nov. 24, 1858. The pedantic precision in Dedekind’s datings becomes less surprising when one knows that this meticulous man kept a journal in which he even noted down daily temperatures and correspondence received.Google Scholar
  28. 2.
    The equivocal use of “magnitude” both for numbers and functions was also typical of the period; Dedekind followed this usage also in lectures.Google Scholar
  29. 1.
    Dedekind 1872, 316]: “Es kam nur noch daran, seinen eigentlichen Ursprung in den Elementen der Arithmetik zu entdecken, und hiermit zugleich eine wirkliche Definition von dem Wesen der Stetigkeit zu gewinnen.”Google Scholar
  30. 1.
    And prefigures a famous sentence of Hilbert, the one that talks about tables, chairs and mugs [Weyl 1944, 153]. [Cantor 1872, 981: “Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definiren, haben wir den Begriff Grenzpunkt einer Punktmenge vorauszuschicken./Unter einem Grenzpunkt einer Puntmenge P verstehe ich einen Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung desselben unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge gehört. Unter Umgebung eines Punktes sei aber hier ein jedes Intervall verstanden, welches den Punkt in seinem Innern hat. Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen Anzahl von Punkten bestehende [”beschränkte“] Punktmenge stets zum Wenigsten einen Grenzpunkt hat./Es ist nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu einer gegebenen Menge P, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein solcher zu sein, und es ist daher mit der Puktmenge P die Menge ihrer Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit P’ bezeichnen und die erste abgeleitete Punktmenge von P nennen will./Besteht die Punktmenge P’ nicht aus einer blos endlichen Anzahl von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge P’; ich nenne sie die zweite abgeleitete von P. Man findet durch v solcher Uebergänge den Begriff der vteo abgeleiteten Punktmenge Ptv) von P.”Google Scholar
  31. 2.
    Lipschitz 1986, 79; Dedekind 1930/32, vol. 3, 479]: “Man analysire alle Annahmen, sowohl die ausdrücklich als die stillschweigend gemachten, auf welchen das gesammte Gebäude der Geometrie Euklid’s beruht, man gebe die Wahrheit aller seiner Sätze, die Ausführbarkeit aller seiner Constructionen zu (eine untrügliche Methode einer solchen Analyse besteht fir mich darin, alle Kunstausdrücke durch beliebige neu erfundene (bisher sinnlose) Worte zu ersetzen, das Gebäude darf, wenn es richtig construirt ist, dadurch nicht einstürzen, und ich behaupte z.B., dass meine Theorie der reellen Zahlen diese Probe aushält): niemals, so weit ich geforscht habe, gelangt man auf diese Weise zu der Stetigkeit des Raums als einer mit Euklid’s Geometrie untrennbar verbundenen Bedingung; sein ganzes System bleibt bestehen auch ohne die Stetigkeit — ein Resultat, was gewiss für Viele überraschend ist und mir deshalb wohl erwähnenswerth schien.”Google Scholar
  32. 1.
    Dedekind 1872, 322]: “nur durch [die Beantwortung dieser Frage] wird man eine wissenschaftliche Grundlage für die Untersuchung aller stetigen Gebieten gewinnen. Mit vagen Reden über den ununterbrochenen Zusammenhang in den kleinsten Teilen ist natürlich nichts erreicht; es kommt darauf an, ein präzises Merkmal der Stetigkeit anzugeben, welches als Basis für wirkliche Deduktionen gebraucht werden kann.”Google Scholar
  33. 2.
    Dedekind 1888, 341]: “die Erscheinung des Schnittes in ihrer logischen Reinheit.” [Cantor 1872, 981: “Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definiren, haben wir den Begriff Grenzpunkt einer Punktmenge vorauszuschicken./Unter einem Grenzpunkt einer Puntmenge P verstehe ich einen Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung desselben unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge gehört. Unter Umgebung eines Punktes sei aber hier ein jedes Intervall verstanden, welches den Punkt in seinem Innern hat. Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen Anzahl von Punkten bestehende [”beschränkte“] Punktmenge stets zum Wenigsten einen Grenzpunkt hat./Es ist nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu einer gegebenen Menge P, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein solcher zu sein, und es ist daher mit der Puktmenge P die Menge ihrer Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit P’ bezeichnen und die erste abgeleitete Punktmenge von P nennen will./Besteht die Punktmenge P’ nicht aus einer blos endlichen Anzahl von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge P’; ich nenne sie die zweite abgeleitete von P. Man findet durch v solcher Uebergänge den Begriff der vteo abgeleiteten Punktmenge Ptv) von P.”Google Scholar
  34. 3.
    Dedekind 1872, 322]: “Ich finde nun das Wesen der Stetigkeit in der Umkehrung, also in dem folgenden Prinzip: `Zerfallen alle Punkte der Geraden in zwei Klassen von der Art, dass jeder Punkt der ersten Klasse links von jedem Punkte der zweiten Klasse liegt, so existiert ein und nur ein Punkt, welcher diese Einteilung aller Punkte in zwei Klassen, diese Zerschneidung der Geraden in zwei Stücke hervorbringt.”Google Scholar
  35. 1.
    Dedekind 1872, 325]: “Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1, A2) vorliegt, welcher durch keine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl a, welche wir als durch diesen Schnitt ( A1, A2) vollständig definiert ansehen; wir werden sagen, dass die Zahl a diesem Schnitt entspricht, oder dass sie diesen Schnitt hervorbringt.”Google Scholar
  36. 2.
    See, e.g., [Dedekind 1854] and, a third century later, the 1888 letter to Weber in [1930/32, vol. 3, 488–90]. [Cantor 1872, 981: “Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definiren, haben wir den Begriff Grenzpunkt einer Punktmenge vorauszuschicken./Unter einem Grenzpunkt einer Puntmenge P verstehe ich einen Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung desselben unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge gehört. Unter Umgebung eines Punktes sei aber hier ein jedes Intervall verstanden, welches den Punkt in seinem Innern hat. Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen Anzahl von Punkten bestehende [”beschränkte“] Punktmenge stets zum Wenigsten einen Grenzpunkt hat./Es ist nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu einer gegebenen Menge P, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein solcher zu sein, und es ist daher mit der Puktmenge P die Menge ihrer Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit P’ bezeichnen und die erste abgeleitete Punktmenge von P nennen will./Besteht die Punktmenge P’ nicht aus einer blos endlichen Anzahl von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge P’; ich nenne sie die zweite abgeleitete von P. Man findet durch v solcher Uebergänge den Begriff der vteo abgeleiteten Punktmenge Ptv) von P.”Google Scholar
  37. 3.
    Lipschitz 1986, 64–65; Dedekind 1930/32, vol. 3, 471]: “will man keine neue Zahlen einführen, so habe ich nichts dagegen; der von mir bewiesene Satz 05, IV) lautet dann so: das System aller Schnitte in dem für sich unstetigen Gebiete der rationalen Zahlen bildet eine stetige Mannigfaltigkeit.”Google Scholar
  38. 1.
    After discussing the introduction of the real numbers, their correspondence goes on to deal with Riemannian topics [Lipschitz 1986, 82–85].Google Scholar
  39. 1.
    Cantor 1872, 97]: “Ich nenne diesen Satz ein Axiom, weil es in seiner Natur liegt, nicht allgemein beweisbar zu sein.” Compare [Dedekind 1872, 322–23]: “Die Annahme dieser Eigenschaft der Linie ist nichts als ein AxiomChrw(133) Hat überhaupt der Raum eine reale Existenz, so braucht er doch nicht nothwendig stetig zu sein.”Google Scholar
  40. 1.
    Schröder wrote that Weierstrass, Cantor and Dedekind had established the purely analytical character of the truths of arithmetic, and therefore Kant’s famous question: how are synthetic a priori judgements possible?, simply lacked an object [Schröder 1890/95, vol. 1, 441].Google Scholar
  41. 1.
    See the letter to Heine, probably not sent, in [Dugac 1976, 177–78]. Most likely, and taking into account one of Heine’s publications, the letter was written before 1871, see [op.cit., 107].Google Scholar
  42. 2.
    See [Sinaceur 1990, 239], where he remarks on the connection between the manuscript under discussion and his work on Riemann spaces (“ideal geometry”).Google Scholar
  43. 3.
    Cantor and Dedekind 1937, 47–48]: “Ich würde mir ein solches Urteil nicht erlauben, wenn ich nicht vor vielen Jahren, als ich noch die Dirichletsche Potentialvorlesung herausgeben und dabei das sogenannte Dirichletsche Prinzip strenger begründen wollte, mich schon recht viel mit solchen Fragen beschäftigt hätte. Ich habe einige solche Definitionen, die mir eine recht gute Grundlage zu geben scheinen; aber ich habe später die ganze Sache liegen lassen, und könnte fir den Augenblick nur Unvollständiges geben, da ich durch die Umarbeitung der Dirichletschen Zahlentheorie ganz in Anspruch genommen bin.”Google Scholar
  44. 1.
    This is further, internal evidence for my dating. [Cantor 1872, 981: “Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definiren, haben wir den Begriff Grenzpunkt einer Punktmenge vorauszuschicken./Unter einem Grenzpunkt einer Puntmenge P verstehe ich einen Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung desselben unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge gehört. Unter Umgebung eines Punktes sei aber hier ein jedes Intervall verstanden, welches den Punkt in seinem Innern hat. Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen Anzahl von Punkten bestehende [”beschränkte“] Punktmenge stets zum Wenigsten einen Grenzpunkt hat./Es ist nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu einer gegebenen Menge P, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein solcher zu sein, und es ist daher mit der Puktmenge P die Menge ihrer Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit P’ bezeichnen und die erste abgeleitete Punktmenge von P nennen will./Besteht die Punktmenge P’ nicht aus einer blos endlichen Anzahl von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge P’; ich nenne sie die zweite abgeleitete von P. Man findet durch v solcher Uebergänge den Begriff der vteo abgeleiteten Punktmenge Ptv) von P.”Google Scholar
  45. 2.
    Dedekind 1930/32, vol. 2, 3531: “Ein System von Punkten p, p’Chrw(133) bildet einen Körper, wenn für jeden Punkt p desselben sich eine Länge S von der Beschaffenheit angeben lässt, dass alle Punkte, deren Abstand von p kleiner als S ist, ebenfalls dem System P angehören. Die Punkte p, p’Chrw(133) liegen innerhalb P.”Google Scholar
  46. 1.
    Hettner redaction, [Weierstrass unp., p. 305] (I thank Gregory H. Moore for making a copy available to me): “Es sei im Gebiet einer reellen Grösse x eine andere Grösse x’ auf bestimmte Weise definiert, jedoch so, dass sie unendlich viele Werte annehmen kann, die sämtlich zwischen zwei bestimmten Grenzen liegen, dann kann bewiesen werden, dass im Gebiete von x mindestens ein Stelle a gibt, die so beschaffen ist, dass in jeder noch so kleinen Umgebung von ihr es unendlich viele Werte von x’ giebt.”Google Scholar
  47. 2.
    According to Gregory Moore, who is studying the origins of Weierstrass’s notion of limit point, the Berlin mathematician seems to have started using the words `Gebiet’ and ‘Mannigfaltigkeit’ after 1868, which makes it likely that he was influenced by the publication of [Riemann 1854].Google Scholar
  48. 1.
    Hettner redaction, [Weierstrass unp., 308, 317]. [Cantor 1872, 981: “Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definiren, haben wir den Begriff Grenzpunkt einer Punktmenge vorauszuschicken./Unter einem Grenzpunkt einer Puntmenge P verstehe ich einen Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung desselben unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge gehört. Unter Umgebung eines Punktes sei aber hier ein jedes Intervall verstanden, welches den Punkt in seinem Innern hat. Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen Anzahl von Punkten bestehende [”beschränkte“] Punktmenge stets zum Wenigsten einen Grenzpunkt hat./Es ist nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu einer gegebenen Menge P, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein solcher zu sein, und es ist daher mit der Puktmenge P die Menge ihrer Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit P’ bezeichnen und die erste abgeleitete Punktmenge von P nennen will./Besteht die Punktmenge P’ nicht aus einer blos endlichen Anzahl von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge P’; ich nenne sie die zweite abgeleitete von P. Man findet durch v solcher Uebergänge den Begriff der vteo abgeleiteten Punktmenge Ptv) von P.”Google Scholar
  49. 2.
    See the letter from Schwarz to Cantor in [Meschkowski 1967, 68; also 239]. It is difficult to believe that Heine agreed, in the light of his [ 1872 ].Google Scholar
  50. 3.
    Compare a letter to Mittag-Leffler, written in that same year, where he compares Kronecker’s arguments with those of the skeptics [Schoenflies 1927, 12–13].Google Scholar
  51. 1.
    Cantor 1872, 981: “Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definiren, haben wir den Begriff Grenzpunkt einer Punktmenge vorauszuschicken./Unter einem Grenzpunkt einer Puntmenge P verstehe ich einen Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung desselben unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge gehört. Unter Umgebung eines Punktes sei aber hier ein jedes Intervall verstanden, welches den Punkt in seinem Innern hat. Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen Anzahl von Punkten bestehende [”beschränkte“] Punktmenge stets zum Wenigsten einen Grenzpunkt hat./Es ist nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu einer gegebenen Menge P, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein solcher zu sein, und es ist daher mit der Puktmenge P die Menge ihrer Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit P’ bezeichnen und die erste abgeleitete Punktmenge von P nennen will./Besteht die Punktmenge P’ nicht aus einer blos endlichen Anzahl von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge P’; ich nenne sie die zweite abgeleitete von P. Man findet durch v solcher Uebergänge den Begriff der vteo abgeleiteten Punktmenge Ptv) von P.”Google Scholar
  52. 2.
    Recall that, in defining the real numbers, Cantor says that the fundamental sequence is “given by a law” [op.cit., 92]. [Cantor 1872, 981: “Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definiren, haben wir den Begriff Grenzpunkt einer Punktmenge vorauszuschicken./Unter einem Grenzpunkt einer Puntmenge P verstehe ich einen Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung desselben unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge gehört. Unter Umgebung eines Punktes sei aber hier ein jedes Intervall verstanden, welches den Punkt in seinem Innern hat. Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen Anzahl von Punkten bestehende [”beschränkte“] Punktmenge stets zum Wenigsten einen Grenzpunkt hat./Es ist nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu einer gegebenen Menge P, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein solcher zu sein, und es ist daher mit der Puktmenge P die Menge ihrer Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit P’ bezeichnen und die erste abgeleitete Punktmenge von P nennen will./Besteht die Punktmenge P’ nicht aus einer blos endlichen Anzahl von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge P’; ich nenne sie die zweite abgeleitete von P. Man findet durch v solcher Uebergänge den Begriff der vteo abgeleiteten Punktmenge Ptv) von P.”Google Scholar
  53. 1.
    A development that seems to have been foreseen, however vaguely, by Riemann (§II.5). [Cantor 1872, 981: “Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definiren, haben wir den Begriff Grenzpunkt einer Punktmenge vorauszuschicken./Unter einem Grenzpunkt einer Puntmenge P verstehe ich einen Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung desselben unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge gehört. Unter Umgebung eines Punktes sei aber hier ein jedes Intervall verstanden, welches den Punkt in seinem Innern hat. Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen Anzahl von Punkten bestehende [”beschränkte“] Punktmenge stets zum Wenigsten einen Grenzpunkt hat./Es ist nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu einer gegebenen Menge P, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein solcher zu sein, und es ist daher mit der Puktmenge P die Menge ihrer Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit P’ bezeichnen und die erste abgeleitete Punktmenge von P nennen will./Besteht die Punktmenge P’ nicht aus einer blos endlichen Anzahl von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge P’; ich nenne sie die zweite abgeleitete von P. Man findet durch v solcher Uebergänge den Begriff der vteo abgeleiteten Punktmenge Ptv) von P.”Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1999

Authors and Affiliations

  • José Ferreirós
    • 1
  1. 1.Dpto. de Filosofía y Lógica, Avda. San Francisco Javier, s/nUniversidad de SevillaSevillaSpain

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