Advertisement

Dedekind and the Set-theoretical Approach to Algebra

  • José Ferreirós
Part of the Science Networks. Historical Studies book series (SNHS, volume 23)

Abstract

The connections between the work of Dedekind and that of such figures as Noether or Bourbaki explain the close attention that historians have given him in the last 25 years. It is certainly true that Dedekind’s work is the outcome of a serious and deep attempt to reconceive and systematize classical mathematics, and that it prepared the ground in an essential way for modern abstract mathematics. But the idea that Dedekind (and Galois) gave modem algebra its structure, which can be found here and there,2 is too simplifying — the emergence of the structural viewpoint in algebra was a lengthy process, and there is reason to doubt that Dedekind ever viewed mathematics from a strictly structural perspective. For him, pure mathematics was the science of numbers in all its extension and derivations, number systems being more basic than any possible abstract structure. Nonetheless, the abstract-conceptual viewpoint, that he took from Riemann and pursued in a new direction (§I.4), led him to prefer a kind of approach and methods that would prove to be extremely fruitful in the context of 20th-century structural mathematics. This accounts for his influence on Noether and others, and makes it particularly interesting to explore the methodological and conceptual traits of Dedekind’s work that underlay his preferred mathematical style.

Keywords

Prime Ideal Ideal Theory Fundamental Theorem Number System Ideal Factor 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. 1.
    Scharlau 1981, 2–3]: “Erstens hat sich Dedekind wie kaum ein zweiter in der Geschichte der Mathematik um einen systematischen Aufbau seiner Wissenschaft bemüht und insbesondere die heutige `abstrakte’ Mathematik — vor allem die,moderne Algebra’ im Sinne des Buches von van der Waerden — vorbereitet. Er hat wesentlich zur Klärung der wichtigsten algebraischen Grundbegriffe — Körper, Ringe, Moduln, Ideale, Gruppen — beigetragen und sich mit Grundlagenfragen der Mathematik — reelle Zahlen, Cantors Mengenlehre, mengentheoretische Topologie — beschäftigt. In diesem Sinne können wir Dedekind als Vorfahren und wichtigen Wegbereiter Bourbakis ansehenChrw(133). Zweitens war DedekindChrw(133) geprägt von bedeutenden Vorgängern.”Google Scholar
  2. 2.
    E.g., van der Waerden in his introduction to Dedekind, Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (Braunschweig, Vieweg, 1963 ). On Dedekind and structural algebra, see [Corry 1996, particularly 70–71, 79].Google Scholar
  3. 1.
    Such a task would be almost impossible, were it not for a good number of contributions that have rescued and analyzed important manuscripts shedding new light on Dedekind’s development between 1857 and 1871 [Purkert 1977; Scharlau 1981, 1981a, 1982; Haubrich 1999 ].Google Scholar
  4. 2.
    Über die Elemente der Theorie der Eulerschen Integrale’ (1852) and `Über die Transformationsformeln für rechtwinklige Coordinatensysteme’ (1854).Google Scholar
  5. 1.
    Scharlau 1981, 48]: They have “Chrw(133) in den täglichen Zussamenkünften die kleinsten Einzelheiten von Neuem besprochen.” [Dedekind 1930/32, vol. 3, 394]: “Da die Mannigfaltigkeit der Methoden, welche zum Beweise eines und desselben Satzes dienen, einen Hauptreiz der Zahlentheorie bildet,Chrw(133). so lag es nicht im Sinne Dirichlets, sichChrw(133) auf den Inhalt dieser Vorlesung zu beschräncken.”Google Scholar
  6. 2.
    On Dedekind and Dirichlet, see [Haubrich 1999, chap. 5].Google Scholar
  7. 3.
    See the manuscript published in [Scharlau 19811 as `Eine Vorlesung über Algebra,’ and the comments by Scharlau himself [198la, 107], and by Scholz [1990, 386–94] and Haubrich [1999, chap. 61. Dedekind was much less interested in, or perhaps unable to make progress on, specific problems such as criteria of solvability.Google Scholar
  8. 1.
    See [Scharlau 1982]. Since this can be reformulated as the reciprocal reduction of two fields, the editor regards it as the first significant result in field theory [op.cit., 343]; notably, the result dates back to December 1855.Google Scholar
  9. 2.
    On the occassion of a vacant position at the University of Giessen, in 1868, Clebsch had to exclude Dedekind — “unfortunately,” as he wrote — from those who have contributed something from the scientific point of view [Dugac 1976, 155].Google Scholar
  10. 1.
    Dedekind 1854, 4301: “Dieses Drehen und Wenden der Definitionen, den aufgefundenen Gesetzen oder Wahrheiten zuliebe, in denen sie eine Rolle spielen, bildet die grösste Kunst des Systematikers.”Google Scholar
  11. 2.
    It was by trying to understand Dedekind’s path to the notion of set, in the period 1854–58, that I started to ponder Riemann’s important role in the early history of sets.Google Scholar
  12. 1.
    Scharlau 1981, 63; emphasis added]: “Die nun folgenden Untersuchungen beruhen lediglich auf den beiden so eben bewiesenen Fundamentalsätzen und darauf, dass die Anzahl der Substitutionen eine endliche ist: Die Resultate derselben werden deshalb genau ebenso für ein Gebiet von einer endlichen Anzahl von Elementen, Dingen, Begriffen 0, 0’, 0”Chrw(133) gelten, die eine irgendwie definirte Composition 00’ aus 0, 0’ zulassen, in der Weise, dass 00’ wieder ein Glied dieses Gebietes ist, und dass diese Art der Composition den Gesetzen gehorcht, welche in den beiden Fundamentalsätzen ausgesprochen sind. In vielen Theilen der Mathematik, namentlich aber in der Zahlentheorie und Algebra finden sich fortwährend Beispiele zu dieser Theorie; dieselben Methoden der Beweise gelten hier wie dort.“Google Scholar
  13. 2.
    Modern axiomatization of groups (and fields) began with [Weber 1893], a paper strongly influenced by Dedekind, and written after Lie’s work made new axioms for infinite groups necessary [Wussing 1969, 223–251].Google Scholar
  14. 1.
    Riemann’s definition ensured that manifolds could be formed by any elements whatsoever, see §II.5.Google Scholar
  15. 2.
    Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  16. 1.
    This corresponds to the “fields of algebraic functions” of Dedekind and Weber in their paper of 1882; see [Dedekind 1930/32, vol. 1, 239].Google Scholar
  17. 2.
    Scharlau 1981, 601: “Erklärung. Unter Substitution versteht man im Allgemeinen jeden Process, durch welchen gewisse Elemente a, b, c,Chrw(133) in andere a’, b c’,Chrw(133) übergehen oder durch diese ersetzt werden; wir betrachten im Folgenden nur die Substitutionen, bei welchen der Complex der ersetzenden Elemente a’, b’, c’ mit dem der ersetzten a, b, c identisch ist.”Google Scholar
  18. 1.
    This fragment was, most likely, written before the manuscript an Galois theory, since only at the end it introduces the word “substitution.” It begins talking simply about “objects” that “correspond to” [entspricht] the “objects” of a given group.Google Scholar
  19. 2.
    Dedekind 1879, 470]: “Es geschieht in der Mathematik und in anderen Wissenschaften sehr häufig, dass, wenn ein System Q von Dingen oder Elementen w vorliegt, jedes bestimmte Element w nach einem gewissen Gesetze durch ein bestimmtes, ihm entsprechendes Element w’ ersetzt wird; einen solchen Act pflegt man eine Substitution zu nennen, und man sagt, dass durch diese Substitution das Element w in das Element w’, und ebenso das System Q in das System Q’ der Elemente w’ übergeht. Die Ausdrucksweise gestaltet sich noch etwas bequemer, wenn man, was wir thun wollen, diese Substitution wie eine Abbildung des Systems Q auffasst und demgemäss w’ das Bild von w, ebenso a das Bild von Q nennt.” “Auf dieser Fähigkeit des Geistes, ein Ding w mit einem Ding w` zu vergleichen, oder w auf w` zu beziehen, oder dem w ein w` entsprechen zu lassen, ohne welche ein Denken überhaupt nicht möglich ist, beruht, wie ich an einem anderen Orte nachzuweisen versuchen werde, auch die gesammte Wissenschaft der Zahlen.”Google Scholar
  20. 1.
    The history of the notion of field has been analyzed by Purkert [1973], but the reader should compare his exposition with [Haubrich 1999, chap. 6], on which I rely to some extent.Google Scholar
  21. 2.
    Dedekind 1930/32, vol. 3, 400]: “das Studium der algebraischen Verwandtschaft der Zahlen am zweckmässigsten auf einen Begriff gegründet wird, welcher unmittelbar an die einfachsten arithmetischen Prinzipien anknüpt.”Google Scholar
  22. 3.
    See, e.g., [Scharlau 1981, 831: “rationales Gebiet.” [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  23. 1.
    Dedekind 1930/32, vol. 3, 409]: “Chrw(133) gegenwärtigen Stande der AlgebraChrw(133) um in einem Nichtkenner wenigstens eine dunkle Vorstellung von ihrem Charakter zu erwecken, vielleicht alsChrw(133) die Wissenschaft von der Verwandtschaft der Körper bezeichnen könnte.” He is referring to the “Entwicklung der eigentlichen Algebra” in recent times, through the ideas of Abel and Galois, as he indicates below.Google Scholar
  24. 2.
    The reasons for this title, and a brief description of the subject matter, can be found in §3.1. [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  25. 1.
    Dedekind 1871, 223–224]: “Unter einem Körper wollen wir jedes System von unendlich vielen reellen oder komplexen Zahlen verstehen, welches in sich so abgeschlossen und vollständig ist, dass die Addition, Substraktion, Multiplikation und Division von je zwei dieser Zahlen immer wieder eine Zahl desselben Systems hervorbringt. Der einfachste Körper wird durch alle rationalen, der grösste Körper durch alle Zahlen gebildet. Wir nennen einen Körper A einen Divisor des Körpers M, diesen ein Multiplum von jenem, wenn alle in A enthaltenen Zahlen sich auch in M vorfinden; man findet leicht, dass der Körper der rationalen Zahlen ein Divisor von jedem anderen Körper ist. Der Inbegriff aller Zahlen, welche gleichzeitig in zwei Körpern A, B enthalten sind, bildet wieder einen Körper D, welcher der grösste gemeinschaftliche Divisor der beiden Körper A, B genannt werden kann, weil offenbar jeder gemeinschaftliche Divisor von A und B notwendig ein Divisor von D ist; ebenso existiert immer ein Körper M, welcher das kleinste gemeinschaftliche Multiplum von A und B heissen soll, weil er ein Divisor von jedem andern gemeinschaftlichen Multiplum der beiden Körper ist. Entspricht ferner einer jeden Zahl a des Körpers A eine Zahl b=¢(a) in der Weise, dass 0(a+a)=0(a)+0(a), und r(aa)=¢(a)O(a) ist, so bilden die Zahlen b (falls sie nicht sämtlich verschwinden) ebenfalls ein Körper B=O(A), welcher mit A konjugiert ist und durch die Substitution • aus A hervorgeht; dann ist rückwärts auch A= yy(B) mit B konjugiert. Zwei mit einem dritten konjugierte Körper sind auch miteinander konjugiert, und jeder Körper ist mit sich selbst konjugiert.”Google Scholar
  26. 1.
    Although for fields A is a divisor of B means A c B, while for ideals it means B c A. [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  27. 2.
    See his letter to Lipschitz of 1876, quoted in §IV.1, also [Dedekind 1888, 360, 377–78] and the 1890 letter to Keferstein [Sinaceur 1974, 274].Google Scholar
  28. 3.
    Dugac 1976, 269]: “Seine neuste Auflage enthält so viel Schönheiten,Chrw(133) aber seine Permutationen sind zu körperlos, und es ist doch auch unnöthig, die Abstraktion so weit zu treiben.”Google Scholar
  29. 1.
    Dedekind 1930/32, vol. 3, 468–69]: “ein endlicher Körper ist ein solcher, der nur eine endliche Anzahl von Divisoren besitzt”.Google Scholar
  30. 1.
    The notion of Ordnung [order; Dedekind 1930/32, vol. 3, 305] denotes rings of algebraic integers, while the ring of all integers, characterized by its integral closure, was called Hauptordnung [main order]. Actually it was first used by Dedekind in 1877, while “ring” was first used by Hilbert [ 1897 ].Google Scholar
  31. 2.
    As regards the emergence of algebraic number theory, I follow the reconstruction given by Haubrich [1999, chap. 4 and 7]. On the second topic, see [Corry 1996] and §6.Google Scholar
  32. 3.
    Gauss 1863/1929, vol. 2, 102]: “ita theoremataChrw(133) resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur.”Google Scholar
  33. 1.
    This is partly due to the fact that Dedekind deals mainly with the foundations of algebraic number theory; in other work, for instance on cubic fields (1900), Dedekind studies reciprocity laws (I thank Ralf Haubrich for this remark).Google Scholar
  34. 2.
    See [Haubrich 1993; 1999 ]. Both worked on Galois theory in the 1850s, which led to a field-theoretical orientation in their number-theoretical work; both conceived of the new discipline as intimately related to algebra; both were deeply interested in foundational issues.Google Scholar
  35. 3.
    Edwards [1980, 331, 337] went as far as to say that this was the only real difficulty, but it is clear that Dedekind was not at all of the same opinion; see [Haubrich 1999].Google Scholar
  36. 1.
    The title of an 1844 paper by Eisenstein is: “Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten complexen Zahlen” (in Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 289–310).Google Scholar
  37. 1.
    A number set is a module when it is closed under addition and substraction [Dedekind 1871, 242]. An abstract conception of modules, including their relation to groups, can be found in [Dedekind 1877, 274].Google Scholar
  38. 2.
    In a letter to the Göttingen physiologist Henle and his wife, he speaks of having renounced his earlier aspirations to fame: “eifrigem Arbeiten, nicht um berühmt zu werden — das habe ich aufgegeben — sondern um Dirichlet’s Vorlesungen zum Druck fertig zu machen” [Haubrich 1999].Google Scholar
  39. 1.
    Such a detailed study was initiated by Mehrtens [1979a] and Edwards [1980, 1983 ]. See also [Haubrich 1999, chap. 5].Google Scholar
  40. 2.
    Dedekind 1877, 269]: “l’introduction ou la création de nouveaux éléments arithmétiques”. [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  41. 1.
    Dedekind 1930/32, vol. 1, 202]: “allein obgleich diese Untersuchungen mich dem erstrebten Ziele sehr nahe brachten, so konnte ich mich zu ihrer Veröffentlichung doch nicht entschliessen, weil die so entstandene Theorie hauptsächlich an zwei Unvollkommenheiten leidet. Die eine besteht darin, dass die Untersuchung eines Gebietes von ganzen algebraischen Zahlen sich zunächst auf die Betrachtung einer bestimmten Zahl und der ihr entsprechenden Gleichung gründet, welche als Kongruenz aufgefasst wird, und dass die so erhaltenen Definitionen der idealen Zahlen (oder vielmehr der Teilbarkeit durch die idealen Zahlen) zufolge dieser bestimmt gewählten Darstellungsform nicht von vornherein den Charakter der Invarianz erkennen lassen, welcher in Wahrheit diesen Begriffen zukommt; die zweite Unvollkommenheit dieser Begründungsart besteht darin, dass bisweilen eigentümliche Ausnahmefälle auftreten, welche eine besondere Behandlung verlangen.” The exceptions mentioned in the second place are discussed in [op.cit., 218–30].Google Scholar
  42. 2.
    The exceptions arise in connection with divisors of k = z[a]), the index of Z[a] in the ring of integers o; see [Haubrich 1999, chap. 9]. They also affect the prime number µ in the case of Kummer’s cyclotomic numbers, but Kummer knew how to give ad hoc an explicit decomposition.Google Scholar
  43. 1.
    See an 1895 letter to Frobenius in [Dugac 1976, 283], and also [Dedekind 1888, 337]. [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  44. 2.
    This requirement is particularly critical. Today we assume that it is better to treat the number system axiomatically, but this is done (explicitly or implicitly) within the frame of set theory. It may be argued that Dedekind’s viewpoint was almost unavoidable, as an intermediate step in the historical development (see §IV.1).Google Scholar
  45. 3.
    From the 1854 Habilitationsvortrag [Dedekind 1930/32, vol. 3, 431] to the third preface to Zahlen [1988, 343] written in 1911, five years before his death. See also [1872, 317, 323, 325].Google Scholar
  46. 1.
    Dedekind 1930/32, vol. 3, 489]: “Wir sind göttlichen Geschlechtes und besitzen ohne jeden Zweifel schöpferische Kraft nicht blos in materiellen Dingen (Eisenbahnen, Telegraphen), sondern ganz besonders in geistigen Dingen.”Google Scholar
  47. 2.
    Until he accepted the implications of the set-theoretical paradoxes, apparently in 1897 or 1899. Already in 1888 he supressed mention of concepts in favor of a more abstract approach to sets, perhaps due to his methodological preferences (see §VII.2).Google Scholar
  48. 3.
    Dedekind 1877, 268]: “Je ne suis parvenu à la théorie générale et sans exceptionsChrw(133) qu’après avoir entièrement abandonné l’ancienne marche plus formelle, et l’avoir remplacée par une autre partant de la conception fondamentale la plus simple, et fixant le regard immédiatement sur le but. Dans cette marche, je n’ai plus besoin d’aucune création nouvelle, comme celle du nombre idéal de Kummer, et il suffit complétement de la considération de ce système de nombres réellement existants, que j’appelle un idéal. La puisance de ce concept reposant sur son extrêmeGoogle Scholar
  49. 1.
    The key idea was to construct a finite succession of ideals a; embedded on one another, such that: oµ c ao c a, cChrw(133) c o (where a o), and ending with a maximal ideal [Haubrich 1999, ibid.].Google Scholar
  50. 1.
    Thus, he obtained a general definition that was based exclusively on the arithmetic of ’ and the notion of set, and hence satisfied the requirements that we analyzed in the previous section. But Dedekind did not stop here. For many years he had been working with ideal numbers, and he felt the need to check whether the new definition made sense against that background. This was also necessary, because he was still employing methods of proof taken from his first theory, and so had to prove that there is a perfect overlap between both approaches [Haubrich 1999, ch. 10]. Dedekind [ 1877, 271] took pains to prove, after many vain attempts and with great difficulties, that any ideal, in the sense defined above, was either the set of multiples of a given integer (a principal ideal) or of an ideal number in the old sense. Actually, this is the content of the “fundamental theorem” that can be found in his first version of the theory [Dedekind 1871, 258]. The basic idea of going from an ideal factor to its corresponding ideal suggested to Dedekind, for the first time, a way of proving the fundamental theorem in its full generality. The set-theoretical viewpoint was crucial not only for the new basic definition, but especially for the new proof strategy that finally satisfied Dedekind’s requirement of generality.Google Scholar
  51. 1.
    The draft was published as appendix LVI to [Dugac 1976, 293–309]. “Versuch einer Analyse des Zahl-Begriffs vom naiven Standpuncte aus.” “Motto (eigenes): `Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.”’ [op.cit., 293].Google Scholar
  52. 1.
    Dedekind 1872/78, 293]: “Ein Ding ist jeder Gegenstand unseres DenkensChrw(133) Ein System oder Inbegriff [oder Mannigfaltigkeit] S von Dingen ist bestimmt, wenn von jedem Ding sich beurtheilen lässt, ob es dem System angehört oder nicht.” “Alle diejenigen Dinge, welche eine gemeinschaftliche Eigenschaft besitzen, pflegt man solange die Unterscheidung derselben nicht wichtig ist, den anderen Dingen gegenüber wie ein neues Ding zu behandeln. Dasselbe heisst System, oder Inbegriff alles dieser Dinge.”Google Scholar
  53. 2.
    Dedekind 1872/78, 294]: “Ein System S heisst deutlich abbildbar in einem System T, wenn man für jedes in S enthaltene Ding (Original) ein (zugehöriges, correspondirendes) in T enthaltenes Ding (Bild) so angeben kann, dass verschiedenen Originalen auch verschiedene Bilder entsprechen.” “Abbildung 4) des Systems A in dem System B. Jedem Ding a des A entspricht (durch a ist bestimmt) ein Ding a 140 = b des Systems B. Deutlichkeit einer Abbildung (: a’ 14) und a ” 14) verschieden abgebildet, wenn a a“ verschieden.”Google Scholar
  54. 1.
    Dedekind 1872/78, 294]: “Das Unendliche und Endliche./Ein System S heisst ein unendliches (oder: die Anzahl der in S enthaltenen Dinge heisst unendlich gross), wenn es einen Theil U von S giebt, welcher von S verschieden ist, und in welchem S sich deutlich abbilden lässt; das System S heisst endliches (oder: S besteht aus einer endlichen Anzahl von Dingen), wenn es keinen von S verschiedenen Theil U von S giebt, in welchem S deutlich abbildbar ist.”Google Scholar
  55. 2.
    The words “and influential” are written with Bolzano in mind. [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  56. 1.
    Lipschitz 1986, 62]: “So gut, wie man einen Inbegriff von unendlich vielen Functionen, die sogar noch von Variablen abhängen, als ein Ganzes auffasst, wie man z.B. alle äquivalenten Formen zu einer Formen-Classe vereinigt, diese wieder mit einem einfachen Buchstaben bezeichnet und einer Composition unterwirft, mit demselben Rechte darf ich ein System A von unendlich vielen, aber vollständig bestimmten Zahlen in o, welches zwei höchst einfachen Bedingungen I. und II. genügt, als ein Ganzes auffassen und ein Ideal nennen.”Google Scholar
  57. 1.
    As we have seen (12), Cantor may be added to the list of those who had carefully read Dedekind’s ideal theory in the 1870s. One may add that he lectured on the theory of algebraic numbers at Halle [Purkert and Ilgauds 1987, 103]; see also [Cantor 1877], where he cites Dedekind’s fields of algebraic numbers as examples of denumerably infinite sets.Google Scholar
  58. 1.
    See [Dedekind 1871, 255–58]. That made it possible for Edwards [1980, 337–42] to reformulate Dedekind’s theory of 1871 in terms of the divisor theory of Borewicz and Safarevic, avoiding sets completely; and it enabled Haubrich [1999, chap. 9] to attempt a reconstruction of Dedekind’s first approach.Google Scholar
  59. 2.
    See [Corry 1996, 103–20], where a more detailed analysis of Dedekind’s later versions can also be found. [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  60. 1.
    Letter to Lipschitz, [Dedekind 1930/32, vol.3, 468]: “eine lange Kette von Sätzen!” [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  61. 2.
    His new research on modules also led to path-breaking work on lattice theory, which, however, had little direct influence (see [Mehrtens 1979; Corry 1996, chap. 2]).Google Scholar
  62. 3.
    Dedekind 1930, vol. 3, 426; or Dirichlet 1894, v—vi]: “Nur das letzte Supplement, welches die allgemeine Theorie der ganzen algebraischen Zahlen behandelt, hat eine vollständige Umarbeitung erfahren; sowohl die algebraischen als auch die eigentlich zahlentheoretischen Grundlagen sind in grösster Ausführlichkeit und in derjenigen Auffassung dargestellt, welche ich nach langjähriger Überzeugung für die einfachste halte, weil sie hauptsächlich nur einen deutlichen Überblick über das Reich der Zahlen und die Kenntnis der rationalen Grundoperationen voraussetzt.”Google Scholar
  63. 1.
    Jean Dieudonné in a 1969 article on Dedekind for the Encyclopaedia Universalis, quoted in [Dugac 1976, 77]. [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  64. 2.
    Dedekind and Weber 1882, 240]: `Bis zu[m Beweis des Riemann—Rochschen Satzes] kommt die Stetigkeit und Entwickelbarkeit der untersuchten Funktionen in keiner Weise in BetrachtChrw(133). Dadurch wirdChrw(133) [die] TheorieChrw(133) lediglich durch die seiner eigenen Sphäre angehörigen Mittel behandelt.“Google Scholar
  65. 3.
    In 1881, Paul Bachmann had already developed Dedekind’s suggestions in some detail, in a paper published in vol. 18 of Mathematische Annalen. Bachmann was one of the few students that attended Dedekind’s lectures in the 1850s.Google Scholar
  66. 1.
    He enjoyed a very successful career, teaching at the universities of Königsberg, Marburg, Göttingen and Strassbourg, and the technical schools of Zürich and Charlottenburg (Berlin).Google Scholar
  67. 2.
    A detailed analysis of Weber’s Algebra can be found in [Corry 1996, 34–45]. However, one must take into account that Weber’s presentation of algebraic number theory did not follow Dedekind.Google Scholar
  68. 1.
    There is no detailed historical analysis of Hilbert’s Zahlbericht yet. See W. and F. Ellison in [Dieudonné 1978, 191–92], who refer to Weyl’s obituary, that can be found as an appendix to [Reid 1970 ].Google Scholar
  69. 2.
    See [Hurwitz 1894, 1895; Dedekind 1895; Edwards 1980, 3648]. [Dedekind 1930/32, vol.1, 46–47]: “Die vorhergehenden Sätze entsprechen vollständig denen über die Teilbarkeit der Zahlen in der Weise, dass das ganze System der unendlich vielen einander nach dem Modulus p kongruenten Funktionen einer Variabeln sich hier verhält, wie eine einzige bestimmte Zahl in der Zahlentheorie, indem jede einzelne Funktion eines solchen Systems jede beliebige andere desselben Systems in jeder Beziehung vollständig ersetzt; eine solche Funktion ist der Repräsentant der ganzen Klasse; jede Klasse hat ihren bestimmten Grad, ihre bestimmten Divisoren usw., und alle diese Merkmale kommen jedem einzelnen Gliede einer Klasse in derselben Weise zu. Das System der unendlich vielen inkongruenten Klassen — unendlich vielen, da der Grad unbegrenzt wachsen kann — entspricht der Reihe der ganzen Zahlen in der Zahlentheorie. Der Kongruenz der Zahlen entspricht hier Kongruenz von Funktionenidassen nach einem doppelten Modulus.”Google Scholar
  70. 3.
    Van der Waerden, introduction to Dedekind’s ideal theory (Braunschweig, Vieweg, 1963 ): “Für Emmy Noether was das elfte Supplement eine unerschöpfliche Quelle von Anregungen und Methoden. Bei jeder Gelegenheit pflegte sie zu sagen: `Es steht schon bei Dedekind.”’ On this topic, see [Corry 1996, chap. 5].Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1999

Authors and Affiliations

  • José Ferreirós
    • 1
  1. 1.Dpto. de Filosofía y Lógica, Avda. San Francisco Javier, s/nUniversidad de SevillaSevillaSpain

Personalised recommendations