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A New Fundamental Notion: Riemann’s Manifolds

  • José Ferreirós
Part of the Science Networks. Historical Studies book series (SNHS, volume 23)

Abstract

In this chapter we trace back the first influential appearance of a set-theoretical viewpoint to the work of Riemann. Of course, by speaking of “a set-theoretical viewpoint” I do not mean to suggest that Riemann reached technical results that we would classify today as belonging to set theory — only that he introduced set language substantially in his treatment of mathematical theories and regarded sets as a foundation for mathematics. This comes out in a public lecture given in 1854, on the occasion of his Habilitation as a professor at Göttingen, when he proposed a general notion of manifold — the famous ‘On the Hypotheses upon which Geometry is Founded,’ published posthumously by Dedekind in 1868. We shall refer to it as Riemann’s Habilitationsvortrag.

Keywords

Riemann Surface Abelian Function Mathematical Context Traditional Logic Geometrical Intuition 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

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References

  1. 1.
    Dedekind 1876, 542]: “die Schüchternheit,Chrw(133) eine natürliche Folge seines früheren abgeschlossenen Lebens,Chrw(133) hat ihn auch später nie gänzlich verlassen und oft angetrieben, sich der Eisamkeit und seiner Gedankenwelt zu überlassen, in welcher er die grösste Kühnheit und Vorurtheilslosigkeit entfaltet hat.”Google Scholar
  2. 2.
    Cantor 1932, 31]: “In re mathematica ars proponendi quaestionem pluris facienda est quam solvendi.”Google Scholar
  3. 1.
    Euler 1796, 9]: “Erstlich wird alles dasjenige eine Grösse genennt, welches einer Vermehrung oder einer Verminderung fähig ist, oder wozu sich noch etwas hinzusetzen oder davon wegnehmen lässtChrw(133). indem die Mathematic überhaupt nichts anders ist als eine Wissenschaft der Grössen, und welche Mittel ausfündig macht, wie man dieselben ausmessen soll.”Google Scholar
  4. 2.
    Kluge! 1803/08, vol. 2, 649]: “Grösse (Quantitas, Quantum) ist, was aus gleichartigen Theilen zusammengesetzt ist.Chrw(133) MathematikChrw(133) heisst daher ganz schicklich die Grössenlehre.” Incidentally, we may mention that Klügel revealed some influence of the combinatorial school, for instance when he modified that definition under the entry “mathematics,” saying that this was the science of the “forms of magnitudes” [op.cit., vol. 3, 602], forms being equivalent to functions [op.cit., vol. 1, 79].Google Scholar
  5. 3.
    Hoffmann 1858/67, vol. 4, 144]: “Mathematik ist Grössenlehre, die Wissenschaft von den Grössen deren es Zahlengrössen und Raumgrössen gibt.” [op.cit., vol. 3, 225]: “Grösse wird vielfach erklärt als Dasjenige, welches sich vermehren und vermindern lässt.”Google Scholar
  6. 4.
    With the exception of the recent work of Laugwitz [1996].Google Scholar
  7. 1.
    The wide diffusion of the geometrical representation only took place around 1830, with the publication of some treatises in France and England, and then with the contribution of Gauss. See [Nagel 1935, 168–77; Pycior 1987, 153–56; Scholz 1990, 293–99]. Some interesting comments can be found in [Hamilton 1853, 135–37].Google Scholar
  8. 2.
    The treatment of complex functions as conformal mappings, given by Gauss in 1825 (see §3.1), was also dependent on the idea of the complex plane [Gauss 1863/1929, vol. 2, 175].Google Scholar
  9. 1.
    This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  10. 2.
    Op.cit., vol. 2, 110]: “varietates duarum dimensionum.” It is perhaps convenient to remind the reader that ‘varietates’ is the most adequate Latin translation of ’manifold;’ accordingly, the name for this notion is ‘variété’ in French, ‘variedad’ in Spanish.Google Scholar
  11. 1.
    Riemann 1892, 508]: “Der Verfasser ist Herbartianer in Psychologie und Erkenntnistheorie ( Methodologie und Eidologie ), Herbart’s Naturhilosophie und den darauf bezüglichen metaphysischen Disciplinen (Ontologie und Synechologie) kann er meistens nicht sich anschliessen.”Google Scholar
  12. 2.
    In this he distances himself from Russell and Torretti [Scholz 1982a, 414].Google Scholar
  13. 1.
    Philosophisch behandelt, wird sie selbst ein Theil der PhilosophieChrw(133)“ [Scholz 1982a, 437].Google Scholar
  14. 1.
    Riemann 1854, 273]. The German text is given in §4. For the lecture of 1854 I employ Clifford’s translation [1882, 55–71], with my own corrections.Google Scholar
  15. 1.
    It is my contention that this somewhat obscure text will become quite clear by the end of this section. The difficulties encountered by commentators simply mirror the conceptual gap that separates traditional logic from contemporary logic, callingGoogle Scholar
  16. 1.
    For the history of logic, the reader may consult [Bochenski 1956] and [Kneale and Kneale 1972 ]. Regarding 20th-century logic, it is convenient to consult more recent works, such as [van Heijenoort 1967; Goldfarb 1979; Moore 1980 and 1988].Google Scholar
  17. 2.
    Interestingly, Kant’s formal views influenced even British authors such as DeMorgan [ 1858 ]. This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  18. 1.
    This is not the form in which Aristotle himself gave the argument, but is the usual modern formulation of syllogisms in Barbara (see [Lukasiewicz 1957]). As the reader probably knows, Aristotle analyzed 13 more modes of deduction besides Barbara, divided into three “figures.” Traditional logicians added to Aristotle’s “categorical syllogism” two other kinds of “conclusions” — “hypothetical” and “disjunctive” syllogism — which actually correspond to propositional logic.Google Scholar
  19. 2.
    Frequently there was a fourth part, devoted to methodology. This was a consequence of the modern confusion of logic and epistemology, and the source of a frequent misunderstanding.Google Scholar
  20. 1.
    Herbart 1837, 73–74]: “Die Zahlen selbst bilden eine Reihe unter dem Begriff der ZahlChrw(133) niemand wissen würde, was Zahl sei, wenn er nicht zuvor wüsste, was Eins, Zwei, Drei, Vier ist. Dieses Begriffes Inhalt beruht demnach auf seinem Umfange.”Google Scholar
  21. 2.
    Similarly, post-Boolean logicians such as Schröder and even Peano designed their logical symbolism primarily for the purpose of applying it to classes, although of course they gave it the alternative propositional interpretation.Google Scholar
  22. 1.
    A more sophisticated analysis of extensional relations was given by the French mathematician Gergonne early in the 19th-century [Styazhkin 1969].Google Scholar
  23. 2.
    Acknowledgedly the particle `is’ has several different meanings. A contemporary analysis of them would distinguish the meanings of identity, inclusion (or intensional subsumption) and membership (intensional predication). This analysis was first established by Peano and Frege late in the 19th-century, and as such is more advanced than what could be expected from traditional logicians.Google Scholar
  24. 1.
    I owe this insight to Gregory H. Moore. This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  25. 2.
    There were precedents for this step in tradition, for instance in Euler; see [Frisch 1969] and [Walther-Klaus 1987].Google Scholar
  26. 3.
    This topic has not yet been sufficiently studied. A more detailed preliminary account, partly based on unpublished work done at Erlangen, can be found in [Ferreirós 1996, 13–15].Google Scholar
  27. 1.
    On this topic, see [Bottazzini 1986; Laugwitz 1996, chap. 1]. This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  28. 1.
    Gauss 1863/1929, vol. 3, 79]: “Ich werde die Beweisfiihrung in einer der Geometrie der Lage entnommenen Einkleidung darstellen, weil jene dadurch die grösste Anschaulichkeit und Einfachheit gewinnt. Im Grunde gehört aber der eigentliche Inhalt der ganzen Argumentation einem höhern von Räumlichen unabhängigen Gebiete der allgemeinen abstracten Grössenlehre an, dessen Gegenstand die nach der Stetigkeit zusammenhängenden Grössencombinationen sind, einem Gebiete, welches zur Zeit noch wenig angebauet ist, und in welchem man sich auch nicht bewegen kann ohne ein von räumlichen Bildern entlehnte Sprache.”Google Scholar
  29. 2.
    This linked again with work by Gauss, his 1825 treatise on conformal mappings, i.e., maps that involve “similarity in the least parts” of original and image [Gauss 1863/1929, vol. 4, 189216; quoted in Riemann 1851, 6 note].Google Scholar
  30. 3.
    Klein and Weyl [1913, vi—vii] emphasized that, far from being mere tools, Riemann surfaces are an indispensable component, and even the foundation, of the theory of analytic functions. See [Scholz 1980, 56] for details concerning how Riemann described the surfaces.Google Scholar
  31. 1.
    Riemann estimated that number to be _ m — p + 1, his student Gustav Roch established the precise result in Journal für die reine und angewandte Mathematik 64 (1864), 372–76.Google Scholar
  32. 2.
    Riemann 1857, 91]: “Chrw(133) sind einige der analysis situs angehörige Sätze fast unentbehrlich. Mit diesem von Leibnitz, wenn auch vielleicht nicht ganz in derselben Bedeutung, gebrauchten Namen darf wohl ein Theil der Lehre von den stetigen Grössen bezeichnet werden, welcher die Grössen nicht als unabhängig von der Lage existirend und durch einander messbar betrachtet, sondern von den Massverhältnissen ganz absehend, nur ihre Orts-und Gebietsverhältnisse der Untersuchung unterwirft.”Google Scholar
  33. 1.
    In appendix 1 [Scholz 1982, 222] we read: “Wenn unter einer Menge von verschiedenen Bestimmungsweisen eines veränderlichen Gegenstandes von jeder zu jeder anderen ein stetiger Übergang möglich ist, so bildet die Gesammtheit dieser eine stetig ausgedehnte Mannigfaltigkeit; jede einzelne heisst ein Punkt dieser Mannigfaltigkeit.” Regarding the use of the word `Menge,’ see the Introduction.Google Scholar
  34. 1.
    Scholz 1982, 229]: “Man hat daher auch überall den entgegengesetzen Weg eingeschlagen, und überall, wo man in der Geometrie [Heinrich Weber suggests that one should read ‘Mathematik’] auf Mannigfaltigkeiten von mehreren Dimensionen stösst, wie in der Lehre von den bestimmten Integralen der Theorie der imaginären Grössen, nimmt man die räumliche Anschauung zu Hülfe. Es ist ja bekannt, wie man dadurch eine wahre Übersicht über den Gegenstand gewinnt und nur dadurch gerade die wesentlichen Punkte hervortreten.”Google Scholar
  35. 1.
    The dating is Scholz’s, see his [1982, 216 and 225–26]. This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  36. 2.
    Riemann’s ideas on n-dimensional topology also became known through Betti, who had discussed them with Riemann himself [Weil 1979].Google Scholar
  37. 3.
    On Riemann’s geometrical thought, the reader may consult [Gray 1989; Laugwitz 1996, chap. 3; Scholz 1980 and 1990a; Torretti 1984 ].Google Scholar
  38. 1.
    Being no positivist, he thought that empirical determinations of the validity of such conditions never yield absolute truth, and so he preferred “hypotheses” to “facts” [op.cit., 273], in contrast to Helmholtz [1868].Google Scholar
  39. 2.
    Here Riemann built again on previous work of Gauss, the great 1828 paper on curved surfaces [Gauss 1863/1929, vol. 4, 217–58] showing that the curvature of a surface is an intrinsic property, invariant under isometric transformations (“theorema eggregium”). Riemann elaborated the intrinsic viewpoint directly.Google Scholar
  40. 1.
    See `On the Space-theory of Matter,’ in [Clifford 1882, 21–22]. For Riemann and physics, refer to §I.4 and [Laugwitz 1996, chap. 3].Google Scholar
  41. 2.
    A review of the great number of 19th-century works that related to Riemann’s mathematics can be found in Neuenschwander’s appendix to the 1990 edition of Riemann’s Werke.Google Scholar
  42. 1.
    Riemann 1854, 273]: “Grössenbegriffe sind nur da möglich, wo sich ein allgemeiner Begriff vorfindet, der verschiedene Bestimmungsweisen zulässt. Je nachdem unter diesen Bestimmungsweisen von einer zu einer andern ein stetiger Übergang stattfindet oder nicht, bilden sie eine stetige oder discrete Mannigfaltigkeit; die einzelnen Bestimmungsweisen heissen im erstem Falle Punkte, im letztem Elemente dieser Mannigfaltigkeit.” For the lecture of 1854 I employ Clifford’s translation [1882, 55–71], with my own corrections.Google Scholar
  43. 1.
    It is worth recalling that Riemann was particularly interested in Herbart’s early writings [Riemann 1892, 507–08].Google Scholar
  44. 2.
    Riemann 1854, 272]: “Ich habe mirChrw(133) die Aufgabe gestellt, den Begriff einer mehrfach ausgedehnten Grösse aus allgemeinen Grössenbegriffen zu construiren.” Part I bears the title: “Begriff einer nfach ausgedehnten Grösse.”Google Scholar
  45. 3.
    Grassmann 1844, 65]: “Formenlehre.” This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  46. 1.
    Notably the Monadologie of 1714, see §I.3. This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  47. 2.
    There is a memorable passage in Cantor’s works [1932, 392–93] where he presents, against Herbart, an argument that might be called the trip and road argument, intending to show that the potential infinite presupposes the actual infinite. There he speaks about the “Herbartian dogmatism” that only accepts the potential infinite, quoting extensively from [Herbart 1964, vol. 4, 8889]; in particular, he gives the following quotation: “Hingegen ist bei einer unendlichen Menge die Möglichkeit des Zählens schlechthin ausgeschlossen, weil eben das wahrhaft Unendliche nur als ein Unbestimmtes, Unfertiges gefasst werden kann.”Google Scholar
  48. 1.
    Riemann 1854, 276]: “Es giebt indess auch Mannigfaltigkeiten, in welchen die Ortbestimmung nicht eine endliche Zahl, sondern entweder eine unendliche Reihe oder eine stetige Mannigfaltigkeit von Grössenbestimmungen erfordert. Solche Mannigfaltigkeiten bilden z. B. die möglichen Bestimmungen einer Function für ein gegebenes Gebiet, die möglichen Gestalten einer räumlichen Figur, u. s. w.”Google Scholar
  49. 1.
    Thesis. Endliches, Vorstellbares.“ ”Antithesis. Unendliches, Begriffssysteme, die an der Grenze des Vorstellbaren liegen.“ ”Die Begriffssysteme der Antithesis sind zwar durch negative Prädicate fest bestimmte Begriffe, aber nicht positiv vorstellbar.“Google Scholar
  50. 2.
    Dedekind 1932, vol. 3, 488]: “doch bezweifelte er [Cantor] 1882 die Möglichkeit einer einfachen Definition [des Unendlichen] und war sehr überrascht, als ich ihmChrw(133) die meinige mittheilte.”Google Scholar
  51. 1.
    Riemann 1854, 273–74]: “Begriffe, deren Bestimmungsweisen eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, sind so häufig, dass sich für beliebig gegebene Dinge wenigstens in den gebildeteren Sprachen immer ein Begriff auffinden lässt, unter welchem sie enthalten sind (und die Mathematiker konnten daher in der Lehre von den discreten Grössen unbedenklich von der Forderung ausgehen, gegebene Dinge als gleichartig zu betrachten),Chrw(133)”Google Scholar
  52. 2.
    Riemann 1854, 2741: “Bestimmte, durch ein Merkmal oder eine Grenze unterschiedene Theile einer Mannigfaltigkeit heissen Quanta. Ihre Vergleichung der Quantität nach geschieht bei den discreten Grössen durch Zählung, bei den stetigen durch Messung.”Google Scholar
  53. 3.
    Riemann 1854, 286]: “Art. I bildet zugleich die Vorarbeit für Beiträge zur analysis situs.” This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  54. 1.
    Such a rupture has some precedent in Gauss (§2.1), and other contemporary authors also emphasized that mathematics is not restricted to the study of the quantitative. This is the case of Grassmann [1844] and of the British tradition of symbolical algebra [e.g., Boole 1847, 42].Google Scholar
  55. 2.
    Riemann 1854, 274]: “Das Messen besteht in einem Aufeinanderlegen der zu vergleichenden Grössen; zum Messen wird also ein Mittel erfordert, die eine Grösse als Masstab für die andere fortzutragen. Fehlt dieses, so kann man zwei Grössen nur vergleichen, wenn die eine ein Theil der andern ist, und auch dann nur das Mehr oder Minder, nicht das Wieviel entscheiden. Die Untersuchungen, welche sich in diesem Falle über sie anstellen lassen, bilden einen allgemeinen von Massbestimmungen unabhängigen Theil der Grössenlehre, wo die Grössen nicht als unabhängig von der Lage existirend und nicht als durch eine Einheit ausdrückbar, sondern als Gebiete in einer Mannigfaltigkeit betrachtet werden. Solche Untersuchungen sind für mehrere Theile der Mathematik, namentlich für die Behandlung der mehrwertigen analytischen Functionen ein Bedürfnis geworden, und der Mangel derselben ist wohl eine Hauptursache, dass der berühmte Abel’sche Satz und die Leistungen von Lagrange, Pfaff, Jacobi für die allgemeine Theorie der Differentialgleichungen so lange unfruchtbar geblieben sind.”Google Scholar
  56. 1.
    The Erlanger Programm enjoyed some diffusion from the 1870s, but only in the 1890s, when it was properly published, did it exert a great influence [Hawkins 1984].Google Scholar
  57. 1.
    Cf [Weierstrass 1986; 1988], also [Weierstrass 1894/1927, vol.7, 55–60], and [Pincherle 1880, 234–237]. Actually, Gregory H. Moore has communicated to me that apparently Weierstrass never used that word before 1868, and this suggests strongly that he took it from Riemann [ 1854 ], which was published exactly in that year. By this time, Cantor was already working on his Habilitation.Google Scholar
  58. 1.
    A difficulty still exists, though, when we consider that no concept can be associated to an arbitrary set of points in the line. This might have been the reason why both Dedekind and Cantor later tended to dilute or even abandon the connection between concepts and sets (see chapters VII and VIII).Google Scholar
  59. 1.
    For him, the number system was more basic than any abstract structure [Corry 1996, chap. 2], and the construction of the number system naturally led from sets endowed with algebraic properties to other sets with topological ones (but see §III.6.2).Google Scholar
  60. 1.
    Here, I call `right’ the idea that cardinality is the only meaningful way to compare abstract sets “with respect to the multiplicity of their parts [elements] (that is, if we abstract from all differences between them).”Google Scholar
  61. 2.
    Bolzano 1851, 30–31]: “bloss aus diesem Umstande ist es — so sehen wir — noch keineswegs erlaubt zu schliessen, dass diese beiden Mengen, wenn sie unendlich sind, in Hinsicht auf die Vielheit ihrer Teile (d.h. wenn wir von allen Verschiedenheiten derselben absehen) einander gleich seien;Chrw(133) Auf eine Gleichheit dieser Vielheiten wird erst geschlossen werden dürfen, wenn irgendein anderer Grund noch dazukommt, wie etwa, dass beide Mengen ganz gleiche Bestimmungsgründe, z.B. eine ganz gleiche Entstehungsweise haben.”Google Scholar
  62. 1.
    We know that both discussed freely Riemann’s speculations, even those related to the “philosophy of nature,” i.e., physical theory, as happened in the summer of 1857 [Dedekind 1876, 521].Google Scholar
  63. 1.
    Cod. Ms. Riemann, I, 2, 14a-r]: “namentlich bin ich nicht der gründliche Kenner der Riemann’schen Werke, für den Sie mich halten. Ich kenne zwar diese Werke und glaube an sie, aber ich beherrsche sie nicht, und ich werde sie nicht eher beherrschen, als bis ich eine ganze Reihe von Dunkelheiten mir auf meine Weise und mit der in der Zahlentheorie üblichen Strenge überwunden haben werde.”Google Scholar
  64. 2.
    Regarding questions of rigor, Dedekind’s point of reference was no doubt Dirichlet, who taught him the meaning of number-theoretical rigor (see above and [Haubrich 1999]).Google Scholar
  65. 3.
    Commentatio mathematics,Chrw(133),’ in [Riemann 1892, 391–404]; see the `Anmerkungen’ on [405–23], and extracts from Dedekind’s comments in the 1876 edition of the works. The other paper mentioned is `Ein Beitrag zur Electrodynamik’ [op.cit., 288–93].Google Scholar
  66. 1.
    Cod. Ms. Riemann 1, 2, p. 23v]: “Bei der Herausgabe dieser letzteren Abhandlung habe ich die Absicht geäussert, die analytischen Untersuchungen nachzuliefern, und ich habe mich in den nächsten Jahren (hauptsächlich 1867, wie ich glaube) lange mit diesem Gegenstande beschäftigt, später aber die Publication ganz aufgegeben, theils weil Andere (Christoffel, Lipschitz, Beltrami) diesen Stoff ergriffen hatten, theils weil ich im Jahre 1869 durch die unerlässlichen Vorarbeiten zur zweiten Ausgabe der Dirichlet’schen Zahlentheorie gezwungen wurde, mich einem ganz anderen Felde, nämlich der Herstellung einer allgemeinen, ausnahmslosen Theorie der idealen Zahlen zu widmen. Ich habe nun gestern meine damaligen, sehr umfangreichen Papiere durchsucht, und zwischen denselben drei, zum Theil sehr genau ausgeführte Entwürfe zu einer solchen Nachtrags-Abhandlung vorgefundenChrw(133); eine Menge von Untersuchungen von speciellen, z.B. constant gekrümmten und anderen interessanteren Räumen liegen bergehoch bei mir, sind aber in diese Entwürfe, die vorher abbrechen, nicht mehr eingegangen.”Google Scholar
  67. 2.
    Clifford’s famous contribution is just two pages presenting an interesting conjecture; see [Clifford 1882; Farwell and Knee 1990 ]. This text is somewhat reminiscent of Cantor’s work [1932, 420–39] on n-ply ordered sets. [Gauss 1863/1929, vol. 2, 176]: “Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte, Reine geordnet werden können, sondern nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur AbmessungChrw(133) ausser den vorigen Einheiten +1 und —1 noch zweier andernChrw(133) +i und —i.Chrw(133) Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können./Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.”Google Scholar
  68. 3.
    The paper that probably contains what he intended to print was published a few years ago: `Analytische Untersuchungen über Bernhard’s Riemann Abhandlung über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen,’ in [Sinaceur 1990]. In [Cod. Ms. Dedekind XII, 16] there is also a paper an congruence under constant curvature, and a short commentary an [Helmholtz 1868].Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1999

Authors and Affiliations

  • José Ferreirós
    • 1
  1. 1.Dpto. de Filosofía y Lógica, Avda. San Francisco Javier, s/nUniversidad de SevillaSevillaSpain

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