Zusammenfassung
Es ist eine bekannte Tatsache, dass die in der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen auftretenden Gleichungen zwischen k und λ, wo k den Modul der ursprünglichen, λ den Modul der transformierten Funktion bezeichnet, häufig eine überraschend einfache Gestalt annehmen, wenn dieselben in irrationaler Form geschrieben werden. Das einfachste Beispiel hierzu bietet die Legendre’sche Gleichung für den 3. Transformationsgrad:
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Referenzen
Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu München. Dezember 1879. (Wieder abgedruckt: Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880/81), S. 62–70; [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 169–178].)
Man hat eigentlich zu jedem Transformationsgrade n 96 Modularkorrespondenzen; dieselben gehen jedoch sämtlich aus einer derselben hervor, wenn man mit dieser beliebige lineare Transformationen verbindet.
Dieselbe zahlentheoretische Punktion tritt in der Abhandlung „Über quadratische Formen von negativer Determinante” (Monatsberichte der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin; 19. April 1875, S. 223–236) oder [Ges. Werke, Bd. IV, S. 245–259]) auf, in welcher Herr Kronecker die von ihm geschaffene Theorie der Klassenzahlrelationen um eine Reihe wertvoller Formeln bereichert.
Diese Relationen können auch ohne Mühe direkt auf zahlentheoretischem Wege bewiesen werden.
Siehe hier, wie überhaupt für die folgenden Entwicklungen: „Theorie der Abelschen Funktionen vom Geschlechte 3”. Von H. Weber. (Berlin, bei G. Reimer, 1876 )
„rationale” beigefügt nach Handexemplar von Hurwitz.
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Hurwitz, A. (1932). Zur Theorie der Modulargleichungen. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_7
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