Zwei Beweise eines von Herrn Fatou vermuteten Satzes

Zusammenfassung

Herr Fatou¹) vermutete, dass sich der Konvergenzkreis für eine beliebige Potenzreihe zur natürlichen Grenze machen lässt, bloss durch geeignete Änderung der Vorzeichen der Koeffizienten. Genauer gesagt handelt es sich um folgenden Satz:

Es sei der Einheitskreis der wahre Konvergenzkreis der Potenzreihe

$${a_0} + {a_1}x + \cdots + {a_n}{x^n} + \cdots ;$$

dann lässt sich eine unendliche Folge

$${\varepsilon _0},{\varepsilon _1},{\varepsilon _2}, \ldots ,{\varepsilon _n}, \ldots ,$$

wo die ε_n nur der beiden Werte +1 und —1 fähig sind, derart bestimmen, dass die Reihe

$${\varepsilon _0}{a_0} + {\varepsilon _1}{a_1}x + {\varepsilon _2}{a_2}{x^2} + \cdots + {\varepsilon _n}{a_n}{x^n} + \cdots $$

den Einheitskreis zur natürlichen Grenze hat.