Zusammenfassung
Der Satz von E. Picard1), nach welchem eine beständig konvergierende Reihe sich notwendig auf ihr konstantes Glied reduziert, wenn sie zwei endliche Werte nicht annimmt, hat durch Herrn E. Landau2) neuerdings eine sehr bemerkenswerte Verallgemeinerung erfahren. Herr Landau beweist nämlich folgenden Satz:
„Wenn die Potenzreihe
$$P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ...({a_1} \ne 0)$$in dem Kreise | x | < r konvergiert und in diesem Kreise weder den Wert 0 noch den Wert 1 annimmt, so liegt r unterhalb einer gewissen endlichen positiven Grösse λ, die in eindeutiger Weise von den beiden ersten Koeffizienten a 0 und a 1 der Potenzreihe P(x) abhängt.“
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Referenzen
Mémoire sur les fonctions entières, Annales de l’Ecole Normale Supérieure, série 2, t. 9 (1880), p. 145–166.
) Über eine Verallgemeinerung des Picard’schen Satzes, Sitzungsberichte der kgl. preussischen Akademie der Wissenschaften 1904, S. 1118–1133.
) Einfache Beweise dieser Sätze finden sich in meiner Arbeit: „Über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen“, Mathem. Annalen, Bd. 58 (1904), S. 343–360 [Diese Werke, Bd. I, S. 577–595].
1) Siehe des Verfassers „Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikatorgleichungen erster Stufe“, Mathem. Annalen, Bd. 18 (1881), S. 560 [Diese Werke, Bd. I, S. 34].
) Durch eine nähere Untersuchung des imaginären Teiles der Reihe (10) lassen sich noch Verschärfungen der Ungleichungen (14) und (15) erzielen. So ergibt sich z.B., dass der in diesen Ungleichungen auftretende Zahlenfaktor 22 auch durch den kleinern Faktor 16 ersetzt werden darf.
Vgl. meine Abhandlung: „Über die Entwicklungskoeffizienten der lemniskatischen Funktionen“, Mathem. Annalen, Bd. 51 (1899), S. 196–226. [Diese Werke, Bd. II, LXVII.]
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Hurwitz, A. (1932). Über die Anwendung der elliptischen Modulfunktionen auf einen Satz der allgemeinen Funktionentheorie. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_35
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