Über die Anzahl der Riemann’schen Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten

Zusammenfassung

In meiner Abhandlung „Über Riemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten“¹⁾ habe ich die Frage nach der Anzahl der n-blättrigen Riemann’schen Flächen mit w gegebenen einfachen Verzweigungspunkten zurückgeführt auf die Frage, wie viele Systeme von w Transpositionen (t ^l,t ²,.. .t ^w ) bei n Elementen vorhanden sind, welche durch ihre Zusammensetzung die identische Substitution ergeben, also die Bedingung

$${t_1}{t_2}...{t_w} = 1$$

((1))

befriedigen. Ich verallgemeinerte diese Frage dadurch, dass ich an die Stelle der Gleichung (1) die folgende:

$${t_1}{t_2}...{t_w} = S$$

((2))

setzte, wo S eine beliebig gegebene Substitution der n Elemente bedeutet, und ich zeigte, dass die Anzahl f ^s (w) der Systeme (t ¹ ,t ², . . .t ^w ) von w Transpositionen, welche der Gleichung (2) genügen, die Form

$${f_s}(w) = {c_1}f_1^w + {c_2}f_2^w + ... + {c_k}f_k^w$$

((3))

besitzt. Hier bezeichnen f ¹, f ², ... f ^k ausschliesslich von n abhängende ganze Zahlen, während c ¹, c ², .. . c ^k rationale Zahlen sind, die von n und der gegebenen Substitution S abhängen.