Einige Eigenschaften der Dirichlet’schen Funktionen $F(s) = \sum {\left( {\frac{D}{n}} \right) \cdot \frac{1}{{{n^s}}}}$, die bei der Bestimmung der Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen auftreten

Zusammenfassung

Im Jahre 1849 hat Herr Schlömilch folgende interessante Bemerkung gemacht¹):

„Bezeichnet man durch f(s) die Funktion

$$\frac{1}{{{1^s}}} - \frac{1}{{{3^s}}} + \frac{1}{{{5^s}}} - \frac{1}{{{7^s}}} + - ... + {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^s}}}...,$$

so besteht zwischen den Werten f(s) und f(1-s) die Relation

$$f\left( {1 - s} \right) = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^s} \cdot \sin \left( {\frac{{s\pi }}{2}} \right) \cdot \Gamma \left( s \right) \cdot f\left( s \right),$$

(A))

wobei Γ(s) die (Euler’sche) Gammafunktion bezeichnet.“