Zusammenfassung
Die grundlegende Bedeutung des vorliegenden Themas für die Riemann’sche Theorie der algebraischen Funktionen brauche ich wohl kaum hervorzuheben. Geht doch diese Theorie von der graphisch über der komplexen Zahlenebene konstruierten Riemann’schen Fläche aus, um erst sodann die Funktionen, welche durch diese Fläche bestimmt sind, zu untersuchen.
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Referenzen
Vergl. insbesondere: „Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Funktionen“, Mathem. Annalen, Bd. 15 (1879), S. 533–555. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 140–168.]
Inaugural-Dissertation, München 1879 und Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 473–509.
Vergl. den Exkurs auf S. 180.
Vergl. S. 185 und S. 194. Die hier aufgestellten Behauptungen sind indessen unrichtig, soweit ihnen die Annahme zugrunde liegt, dass die vom Verfasser betrachteten Riemann’schen Flächen durch die Verzweigungspunkte eindeutig bestimmt seien.
Bei Ausführung eines Schnittes wird das zur Linken liegende Ufer des Schnittes als das positive bezeichnet. Ferner heisst ein im Sinne des Uhrzeigers erfolgender Umlauf um einen Punkt ein „negativer“ Umlauf.
Bd. 35 (1890), S. 56–58, Über einige Verallgemeinerungen der Leibniz’schen Differentiationsformel und des polynomischen Satzes. [Diese Werke, Bd. I, S. 306–309.]
Vergl. Clebsch, loc. cit. Man vergleiche für das Folgende die Figur 7.
Auch der Fall, in welchem ganze Stücke von L mit Stücken der Linien (6) koinzidieren, bietet offenbar keine Schwierigkeit.
Vgl. für das Folgende die Figur 11.
Die Monodromiegruppe ist in diesem Falle die symmetrische Gruppe.
Loc. cit.
Über Riemann’s Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale, Leipzig (1882), S. 72. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 564.]
Siehe F. Klein, loc. cit.
Mathem. Annalen Bd. 6 (1873), S. 612 und Bd. 18 (1881), S. 443.
Diese Theoreme, welche ich im folgenden nicht voraussetzen werde, sind bekanntlich von den Herren Neumann und Schwarz bewiesen worden.
Vergl. für das Nachfolgende die Figur 15.
Riemann, Theorie der Abél’schen Funktionen, Art. 25 und 26 [Werke, 2. Auflage, S. 137–140.]
Vergl. C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale (Leipzig 1884), S. 367.
Zur Theorie der binären Formen sechster Ordnung und zur Dreiteilung der hyperelliptischen Funktionen. Mathem. Annalen Bd. 2 (1870), S. 193–197. Vergl. auch Burkhardt, Grundzüge einer allgemeinen Systematik der hyperelliptischen Funktionen I. Ordnung. Nach Vorlesungen von F. Klein. Mathem. Annalen Bd. 35 (1890), S. 255.
Vergl. W. Dyck’s in der Einleitung zitierte Abhandlungen.
F. Klein, Neue Beiträge zur Riemann’schen Funktionentheorie, Mathem. Annalen, Bd. 21 (1882/83), S. 141–218. [Ges. Abhandlungen Bd. III, S. 630–710.]
Diese Zahl ist bekanntlich für p = 0 durch 0 und für p = 1 durch 1 zu ersetzen.
Ich schliesse mich in der Bezeichnung den neuesten Publikationen von F. Klein an. Siehe: Zur Theorie der Lamé’schen Funktionen, Göttinger Nachrichten vom 1. März 1890. [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 540–549.] Ferner: Über Normierung der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Mathem. Annalen, Bd. 38 (1891), S. 144–152, und die von Herrn Fricke herausgegebenen Vorlesungen über elliptische Modulfunktionen, Leipzig (1890), Bd. I, S. 763.
Vergl. wegen des Falles p = 2: W. Dyck, Über Aufstellung und Uuntersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann’scher Flächen, Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 473–509, insbes. S. 493.
Die zweiblättrigen Flächen lassen offenbar sämtlich eine eindeutige Transformation in sich von der Periode 2 zu und fallen also unter die Flächen, welche ich in der Arbeit: Über diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen (Göttinger Nachrichten, 1887, S. 85–107, oder Mathem. Annalen, Bd. 32, 1888, S. 290–308) untersucht habe. [Diese Werke, Bd. I, S. 241–259.] Ich benutze die Gelegenheit, hier ein Zitat auf eine mir später bekannt gewordene Notiz des Herrn S. Kantor nachzutragen, welche dieselben Gebilde betrifft. Dieselbe ist betitelt: Sur une théorie des courbes et des surfaces admettant des correspondances univoques und findet sich in den Comptes Rendus de l’Académie des sciences, vol. 100 (1885), p. 343–345.
F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder (Leipzig 1884), S. 115 ff. Die Substitutionen der Tetraeder-, Oktaeder-, Ikosaedergruppe, welche ich im Texte der Kürze halber nicht angebe, findet man auf S. 42 und 43 des genannten Werkes.
Man vergl. für den Fall p = 1 eine Note von E. Picard, Sur certaines équations différentielles linéaires du second ordre, Comptes Rendus, vol. 90 (1880), p. 1479–1482. 2) Dieselbe Methode ist auch auf den Fall verzweigter Flächen anwendbar.
„Über die Auflösung gewisser Gleichungen vom siebenten und achten Grade.“ Mathem.Annalen, Bd. 15, (1879), S. 251–282. [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 390–438.]
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Hurwitz, A. (1932). Über Riemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_21
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