Sur le développement des fonctions satisfaisant à une équation différentielle algébrique

Résumé

Dans le Tome IV de la 3^e série des Annales de l’Ecole Normale (1887, p. 107) M. Gomes Teixeira a énoncé le théorème suivant:

La série

$$y = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \cdots + {a_n}{x^n} + \cdots ,$$

((1))

où a₀, a₁, a₂, ...représentent des fractions réduites à leur plus simple expression, ne peut pas être le développement d’une fonction définie par une équation algébrique relativement à x, y, y’, ..., y⁽ⁱ⁾ à coefficients entiers (2)

$$F(x,y,y', \ldots ,{y^{(i)}}) = 0,$$

((2))

si les dénominateurs de a_n+1, a_n+2,... contiennent indéfiniment des facteurs premiers supérieurs respectivement à n + 1, n + 2,....