Zusammenfassung
Bekanntlich ist das Chasles’sche Korrespondenzprinzip, welches nur für das Entsprechen von Punkten auf einer Kurve vom Geschlechte Null Gültigkeit besitzt, von Herrn Cayley auf Kurven von beliebigem Geschlechte erweitert worden, eine Erweiterung, welche zuerst von Herrn Brill bewiesen wurde1).
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Referenzen
Cayley, Note sur la correspondance de deux points sur une courbe, Comptes rendus, vol. 62 (1866), p. 586–590, und Transactions of the R. Soc. London, vol. 158 (1868), p. 145. — Brill, Über Entsprechen von Punktsystemen auf einer Kurve, Mathem. Annalen, Bd. 6 (1873), S. 33–65, und Über die Korrespondenzformel, Mathem. Annalen, Bd. 7 (1874), S. 607–622. — Man vergl. auch die „Vorlesungen über Geometrie” von Clebsch, herausgegeben von Lindemann (Leipzig, 1876–91), insbesondere Bd. I, 1. Auflage, S. 441 ff., und Bd. II, S. 720ff.
Es ist möglich, dass von den Stellen y′, y″, ... y a einige abgesondert werden können, die bei allen geschlossenen Wegen, welche x beschreibt, sich nur unter sich vertauschen. Dann ist die betrachtete Korrespondenz reduktibel. Ob dieses eintritt oder nicht, lassen wir dahingestellt.
Ahnliche Gleichungen bestehen auch, wenn man eine Korrespondenz zwischen zwei Stellen zweier Rie mann’schen Flächen betrachtet. Diese Gleichungen können als eine Verallgemeinerung des Abel’schen Theorems angesehen werden, in welches sie übergehen, wenn eine der beiden Flächen das Geschlecht Null besitzt.
[[φ sind die von Niemann (Theorie der Abelschen Funktionen, Werke, 2. Auflage, Leipzig 1892, S. 117) zur Bestimmung der Differentiale erster Gattung du eingeführten Funktionen. Anm. v. H. W.]
Mathem. Annalen, Bd. 6 (1873), S. 42, oder Bd. 7 (1874), S. 611.
Die Wertigkeit Null wird hier in der Folge stets als eine positive angesehen.
Crelles Journal, Bd. 84 (1878), S. 300–304; Vorlesungen über Geometrie, a. a. 0.; siehe auch Bd. III, S. 76ff. der französischen Übersetzung dieses Werkes von Benoist, wo Herr Lindemann die Darstellung etwas modifiziert hat.
Über zwei Berührungsprobleme, Mathem. Annalen, Bd. 4 (1871), S. 527–549.
Durch solche Gleichungen definierte Korrespondenzen betrachtet gelegentlich Herr Lindemann (Clebsch-Lindemann, (Vorlesungen Bd. II, S. 747, wo gezeigt wird, dass auf diese Korrespondenzen die Formel (10) Anwendung findet.)
Betreffend solcher „Begrenzungsintegrale” verweise ich auf die Riemann’sche Abhandlung über Abel’sche Funktionen, Werke, 2. Auflage, S. 88–144, sowie auf den Aufsatz von Roch: „Über Thetafunktionen vielfacher Argumente” in Crelles Journal, Bd. 66 (1866), S. 177–184.
Durch derartige Gleichungen definierte Wertigkeitskorrespondenzen betrachtet Herr Lindemann in der Note „Über eine Verallgemeinerung des Jacobi’schen Umkehrproblems der Abel’schen Integrale” (Berichte der naturforschenden Gesellschaft zu Freiburg i. Br., Bd. 7, Heft 3 (1878), S. 273–291; siehe insbesondere S. 288 u. 290).
Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Sitzungsberichte der Münchener Akademie vom 6. Dez. 1879 oder Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880/81), S. 62–70; [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 169–178].
Mathematisch-physische Klasse, Sitzung vom 4. Mai 1885. Die hier in Betracht kommenden Formeln finden sich auf S. 233; die Funktionen F(ω′, ω) entsprechen den im Texte mit C(x, y) bezeichneten Funktionen. [Diese Werke, Bd. II, LXXII.]
Kronecker, Über bilineare Formen, Monatsberichte der Berliner Akademie vom Oktober 18GG, wieder abgedruckt in Grelles Journal, Bd. 68 (1868), S. 273–285; [Werke, Bd. I, S. 143–162]. — Weber, Über die Transformationstheorie der Thetafunktionen, insbesondere derer von drei Veränderlichen, Annali di Matematica, Serie II, Bd. 9 (1878/79), S. 126–166. — Frobcniua, Über die prinzipale Transformation der Thetafunktionen mehrerer Variabein, Grelles Journal, Bd. 95 (1883), S. 264–296. — Wiltheiss, Bestimmung Abel'scher Funktionen mit zwei Argumenten, bei denen komplexe Multiplikationen stattfinden, Habilitationsschrift, Halle 1881, und über Thetafunktionen, die nach einer Transformation in ein Produkt von Thetafunktionen zerfallen, Mathem. Annalen, Bd. 26 (1886), S. 127–142.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Hurwitz, A. (1932). Über algebraische Korrespondenzen und das verallgemeinerte Korrespondenzprinzip. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_10
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_10
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