Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit zerfällt in zwei Teile. — Einmal ist (im I. Abschnitt) der Versuch gemacht, die vollständigen Grundlagen einer unabhängigen Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2) zu entwickeln, andererseits wird (im II. Abschnitt) eine Klasse von Gleichungen untersucht, die bei diesen Funktionen eine Rolle spielt.
Man vergleiche hierzu die nochmalige Behandlung dieses Gegenstandes durch Hurwitz in Mathem. Annalen, Bd. 58 = diese Werke, Bd. I, No. XXXIV.
Anm. v. E. H.
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Referenzen
Dieser Name rührt wohl von Herrn Dedekind her; wir wollen diese Funktionen im folgenden kurz als „Modulfunktionen” bezeichnen.
Brief an Brioschi vom 30. Dez. 1878, mitgeteilt in den Rendiconti del Instituto Lombardo vom 2. Januar 1879; abgedruckt, so weit er hier in Betracht kommt, Mathem. Annalen,Bd. 15(1878/79), S.86–88; [Ges. Abhandlungen v.F.Klein, Bd. III, S.137–139].
Zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen, Crelles Journal, Bd. 87 (1879), S. 199–216.
Wegen derselben vergleiche man die unter sich zusammenhängenden Arbeiten von Schwarz: Über diejenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Funktion ihres vierten Elementes ist, Grelles Journal, Bd. 75 (1872), S. 292–335; [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 211–259], Dedekind: Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Crelles Journal. Bd. 83 (1877), S. 265–292, Klein (Mathem. Annalen, Bd. 14–17); [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 3–197].
Neben diese stellt sich unabhängig eine Arbeit von Stephen Smith: Sur les intégrales elliptiques complètes, Atti della Accademia dei Lincei (3), vol. I (1877), p. 42–44.
Herr Klein hat schon vor längerer Zeit die interessante Bemerkung gemacht, dass sich diese Figur im Prinzip bereits im Gauss’schen Nachlass Bd. 3, S. 477, 478, vorfindet. Es wird dort angegeben, dass die Funktion x 2 (ω) jeden Wert ein Mal und nur ein Mal in einem Raume annimmt, der in der ω-Ebene von zwei Geraden und zwei Halbkreisen begrenzt ist.
Geändert nach Handexemplar von Hurwitz.
Die in Rede stehenden Dreiecke sind hier, wie häufig im folgenden, mit den Transformationen bezeichnet, durch welche sie aus dem Ausgangsraum entstehen.
Mit jeder Transformation betrachten wir auch ihre inverse, also ihre — 1 te Potenz, als gegeben.
„Substitution“ ist gleichbedeutend mit „Transformation”.
Siehe Mathem. Annalen Bd. 17 (1880/81), S. 63 und 64; [Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 170 und 171].
Wir nennen nach Weierstrass eine Funktion (komplexer Veränderlicher) „analytisch“‘, wenn sie sich durch ein System untereinander zusammenhängender, d. h. in einander fortsetzbarer, Potenzreihen definieren lasst.
Eine solche Summe kann, wie Weierstrass in den Berliner Monatsberichten (August 1880) bemerkt hat, mehrere analytische Funktionen in sich vereinigen. Das heisst, die verschiedenen Potenzreihen, in welche sich die Summe entwickeln lässt, können in mehrere Systeme zerfallen, sodass die Potenzreihen eines solchen Systems untereinander zusammenhängen, während je zwei Potenzreihen, die verschiedenen Systemen angehören, nicht auseinander durch Fortsetzung entstchen können. Die Summe stellt dann so viele verschiedene analytische Funktionen vor, als getrennte Systeme von Potenzreihen aus ihr erhalten werden.
S. z. B. Eisenstein, Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Funktionen als Quotienten zusammengesetzt sind, Mathem. Abhandlungen, S. 213–334, oder auch Crelles Journal, Bd. 35 (1847), S. 153–274.
Die Schlussformel in Scheibners Gratulationsschrift: Über „unendl. Reihen und deren Konvergenz“ (Leipzig 1860), enthält diese Formel als speziellen Fall. — Aus der Scheibner’schen Formel fliessen übrigens für die Theorie der Modulfunktionen bemerkenswerte Resultate, auf die bei geeigneter Gelegenheit zurückzukommen ich mir vorbehalte.
Siehe die schon zitierten Entwicklungen von Weierstrass in den Berliner Monatsberichten.
g 2 und g 3 sind die von Weierstrass so benannten Invarianten des elliptischen Integrals I. Gattung. — Die Grössen (2n - 1) G n (n > 1) treten in Weierstrass’ Vorlesungen über elliptische Funktionen als die Entwicklungskoeffizienten von pu auf, und zwar definiert Weierstrass die Grössen durch dieselben unendlichen Doppelsummen, welche den Ausgangspunkt unserer Betrachtung bilden.
[[Die Summation ist hier mit Ausschluss des Paares μ = - n, v = - m gemeint.]] Anm. v. E. H.
G 1 · ω 2 ist, abgesehen von einem Zahlenfaktor, die in Weierstrass’ Vorlesungen über elliptische Funktionen mit 2 η bezeichnete Grösse (Periode des Integrals II. Gattung).
Wegen dieser zuerst von Eisenstein loc. cit. verwandten Identität vgl. § 8. — Die Benützung derselben zur Untersuchung von G 1 ist jedoch neu.
Vgl. Dedekind, loc. cit. S. 274.
Siehe Schwarz, loc. cit.
Vgl. Mathem. Annalen, Bd. 15 (1878/79), S. 86; [Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 137].
Siehe Dedekind, in Riemanns Werken, 2. Aufl., S. 466.
Die Beziehung zwischen ω und ω′ ist bekanntlich die bei der „Transformation“ der elliptischen Funktionen zwischen den Perioden Verhältnissen stattfindende.
Diese Vereinfachung der Fragestellung bietet wesentliche Vorteile dar. Vgl. Mathem. Annalen, Bd. 14 (1878/79), S. 130, 161, Bd. 17 (1880/81), S. 62 ff; [Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 32, 66 und S. 169 ff].
Und zwar erhält man so alle Repräsentantensysteme aus einem bestimmten. 2) Das allgemeine Prinzip vergl. Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880/81), S. 67; [Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 174].
Vgl. z. B. Dedekind: Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Crelles Journal, Bd. 83 (1877), S. 265–292.
Am leichtesten folgt diese3 aus der S. 69 bewiesenen Tatsache, dass die Anzahl der a ω 1 + b ω 2, d ω 2 mit der der Repräsentanten übereinstimmt.
loc. cit. S. 209.
Ob diese Koeffizienten in allen Fällen (wie Mathem. Annalen, Bd. 15 (1878/79), S. 87, behauptet wird) [Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 139] ganze Zahlen sind, konnte ich bislang nicht entscheiden.
Dedekind, loc. cit. S. 288.
Dieses (dass wir nämlich auf die nicht homogenen Repräsentanten geführt werden) ist der Grund, weshalb wir an Stelle der Multiplikatorgleichung einen Augenblick die Gleichung für M untersuchen.
Vgl. Mathem. Annalen, Bd. 15 (1878/79), S. 87 und 88; [Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 139, 140].
Mathem. Annalen, Bd. 14 (1878/79), S. 145; [Ges. Abhandlungen v. F. Klein Bd. Ill, S. 48]. Siehe auoh Brioschi: Su di alcune formole nella Teorica delle funzioni ellettiche, Atti della Accademia dei Lincei (3), Vol. II (1878), p. 115–118; [Opere mate-matiche, Vol. III, p. 361–366]. Anmerkung: Diese Relation wird für diejenige Methode zur Aufstellung der Transformationsgleichung zwischen J und J′ von Wichtigkeit, welche Herr Klein im Anschluss an seine Darstellung dieser Gleichung für die niedersten Fälle [n= 2, 3, 4, 5, 7, 13; Mathem. Annalen, Bd. 14 (1878/79), S. 141–146 oder Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 43–49] allgemein vorschlägt. Sein Gedankengang ist folgender:
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Hurwitz, A. (1932). Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikator-Gleichungen erster Stufe. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_1
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