Gewöhnliche Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Bildraum der Laplace-Transformation

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel suchten wir diejenigen Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit Polynom-Koeffizienten, die L-Transformierte besitzen bzw. sich durch das komplexe Umkehrintegral oder eine Variante desselben -darstellen lassen. In diesem Kapitel fragen wir umgekehrt nach Lösungen, die sich als 𝕷-Transformierte darstellen lassen. Dabei dürfen die Koeffizienten einer wesentlich allgemeineren Funktionsklasse angehören. Im 15. Kapitel waren die Koeffizienten Polynome, wobei der Grad des Koeffizienten der höchsten Ableitung von keinem anderen Koeffizienten übertroffen wurde. Wenn man durch den Koeffizienten der höchsten Ableitung dividiert, so werden die übrigen “Koeffizienten gebrochen rationale Funktionen, deren Zähler höchstens denselben Grad wie der Nenner hat. Sie lassen sich also auf die Form

$$\sum\limits_{\mu= 0}^\infty{\frac{{{a_\mu }}}{{{t_\mu }}}} $$

bringen. Die Verallgemeinerung besteht darin, dass wir statt der rationalen beliebige Funktionen, die im -unendlichen holomorph sind, zulassen. Da wir die Differentialgleichung jetzt im Bildraum betrachten werden, nennen wir die unabhängige Variable 5. Die Differentialgleichung hat also die Gestalt

$${y^{\left( n \right)}} + \left[ {a_0^{\left( {n - 1} \right)} + {p_{n - 1}}\left( s \right)} \right]{y^{\left( {n - 1} \right)}} +\cdots+ \left[ {a_0^{\left( 1 \right)} + {p_1}\left( s \right)} \right]y' + \left[ {a_0^{\left( 0 \right)} + {p_0}\left( s \right)} \right]y = 0$$

((1))

mit

$${p_v}\left( s \right)\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdots}$}}{ - } \sum\limits_{\mu= 1}^\infty{\frac{{1_\mu ^{\left( v \right)}}}{{{s^\mu }}}} $$

((2))

wobei diese Reihen für Č s Č > R konvergieren sollen.