Unendliche Reihen

Zusammenfassung

Die unendliche Reihe (a) $$ heißt konvergent mit der Summe s, wenn die Folge der Partialsummen $$ einen Grenzwert s hat, sonst divergent. Sind $$, $$ zwei konvergente unendliche Reihen, so v=1 konvergiert f¨¹r beliebig gewählte Konstanten c, d die Reihe $$ und hat die angegebene Summe. Im Falle der Konvergenz von (a) gilt sicher a _v → 0, doch ist dies für die Konvergenz nich ausreichend wie das Beispiel der harmonischen Reihe $$ zeigt. Notwendig und hinreichend für die Konvergenz von (a) ist, daß für jedes ε > und ein nur von ε abhängiges N(ε) für alle n > N(ε) und alle positiven p gilt : |a _n+1+ ... + a _{n + p} | ≦ ε (Cauchy-Bolzano).