Einleitung

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit behandelt verschiedene Teile der Differentialgeometrie in mehrdimensionalen Räumen unter Zugrundelegung einer verallgemeinerten Maßbestimmung. Die Länge einer Kurve soll nämlich durch das Integral über eine im wesentlichen willkürliche Funktion der Koordinaten und ihrer ersten Ableitungen gemessen werden. Die euklidische Geometrie und diejenige in Räumen von beliebigem Krümmungsmaße sind die wichtigsten Spezialfälle, auf die sich diese Untersuchungen anwenden lassen. Eine Behandlung der Geometrie unter möglichst allgemeinen Voraussetzungen hat zugleich den Vorteil, erkennen zu lassen, inwieweit die einzelnen Sätze derselben von speziellen Annahmen über die Maßbestimmung oder die Zahl der Dimensionen unabhängig sind. Man könnte sich dabei die Aufgabe stellen, für alle Sätze den genauen Geltungsbereich abzugrenzen, doch haben wir auf diese Fragen weniger Gewicht gelegt ; es zeigt sich nämlich, daß sich viele Begriffe und Sätze ohne wesentliche Modifikationen auch auf den allgemeinsten Fall übertragen lassen. Wir machen zwar in dieser Arbeit noch eine einschränkende Annahme über die Maßbestimmung (vgl. § 21), welche es gestattet, überall nur reelle Funktionen zu verwenden, doch dürfte eine Befreiung von dieser Annahme und vielleicht die Übertragung der ganzen Theorie auf das komplexe Gebiet ohne besondere Schwierigkeiten möglich sein.