Bestimmung der Originalfunktion durch Reihenentwicklung der Bildfunktion

Zusammenfassung

Wenn man festgestellt hat, dass eine Funktion f(s) eine L-Transformierte ist, und es sich nun um die Bestimmung der Originalfunktion handelt, so besteht eine naheliegende Methode darin, f(s) in eine Reihe von Bildfunktionen, deren Originalfunktionen bekannt sind, zu entwickeln und sie gliedweise zu übersetzen. Natürlich ist dies nur unter gewissen Voraussetzungen richtig, weil es auf eine Vertauschung des L-Integrals mit einer unendlichen Reihe hinausläuft. Wenn f(s) in eine Partialbruchreihe entwickelbar ist, so haben wir in § 19 funktionentheoretische Bedingungen angegeben, unter denen die gliedweise Übersetzung statthaft ist. In diesem Paragraphen wollen wir einen Satz von rein analytischem Charakter ableiten, der sich in den Anwendungen als äusserst praktisch erwiesen hat. Da der Beweis sich nur vermittels des Lebesgueschen Integrals führen lässt, seien zunächst die dabei benutzten Sätze genannt.