Bedingungen für die Darstellbarkeit als Laplace-Transformierte

Zusammenfassung

Die Frage, welche Funktionen sich durch eine Potenzreihe EquationSource<math display='block'> <mrow> <mstyle displaystyle='true'> <munderover> <mo>&#x2211;</mo> <mrow> <mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow> <mi>&#x221E;</mi> </munderover> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <msup> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msup> </mrow> </mstyle></mrow> </math>]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{z^n}}$$ darstellen lassen, ist sehr einfach zu beantworten: Es sind dies die in einer Umgebung von z = 0 analytischen Funktionen. Dagegen gibt es auf die Frage, welche Funktionen sich als L-Transformierte darstellen lassen, keine einfache funktionentheoretische Antwort. (Dass nicht etwa in Analogie zu dem Satz über Potenzreihen alle in einer rechten Halbebene analytischen Funktionen [ja nicht einmal diejenigen, die dort für s → ∞ gegen 0 streben] als L-Transformierte darstellbar sind, zeigt schon die Funktion e ^−s, vgl. S. 35.) Wir werden uns damit begnügen müssen, hinreichende (aber nicht notwendige) Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion f(s) als L-Transformierte einer Funktion F(t) aufzustellen. Dazu dient folgende Überlegung: Eine Lösung des sog. Darstellungsproblems wird nur dann vollständig sein, wenn sie nicht nur die Existenz der Darstellung f(s) = L {F} nachweist, sondern auch zeigt, wie man F(t) findet, was auf eine Umkehrformel L⁻¹ {f} = F hinausläuft. Bei dem früher behandelten Umkehrproblem kam es darauf an, für welche F sich das als L {F} gewonnene f durch die Umkehrformel L⁻¹{f} in die Ausgangsfunktion F zurückverwandeln lässt, d. h. unter welchen Bedingungen für F

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ist. Beim Darstellungsproblem dagegen handelt es sich darum, für welche f das durch L⁻¹ {f} erzeugte F eine Darstellung von f in der Gestalt L {F} vermittelt,