Die Abbildung der linearen Substitution der Variablen

Zusammenfassung

Um die Ideenrichtung, von welcher die folgenden Paragraphen beherrscht sind, in ihrem Wesen zu begreifen, empfiehlt es sich, zunächst eine Analogie heranzuziehen. Wir haben in § 4 die L-Transformation als eine Apparatur gedeutet, die zwei Funktionenräume aufeinander abbildet. Man könnte sie aber auch mit einer Übersetzung von einer Sprache in eine andere vergleichen. Eine solche stellt eine Zuordnung her zwischen den Worten zweier Sprachen, so wie die L-Transformation zwischen den Funktionen zweier Funktionenräume. Das erste, was man bei einer Übersetzung benötigt, ist ein Wörterbuch, d. h. eine Sammlung von Übersetzungen einzelner Wörter. Dem entspricht bei der L-Transformation eine Sammlung von Korrespondenzen einzelner spezieller Funktionen. Aber mit einem Wörterbuch allein kann man noch keine Übersetzung bewerkstelligen. Denn die Wörter der ersten Sprache werden flektiert, z. B. die Verben konjugiert, und man muss wissen, wie diese Flexionen in der zweiten Sprache aussehen; oder es werden mehrere Wörter zu einem Satz bestimmter Form zusammengefasst, und man muss die entsprechende Satzform in der anderen Sprache kennen. Kurz: man braucht zum Übersetzen eine Grammatik, deren Regeln sagen, wie gewisse an den Worten der ersten Sprache ausgeübte Operationen sich in der zweiten Sprache widerspiegeln. Dasselbe gilt nun auch für die L-Transformation. Unterwirft man eine Originalfunktion einer gewissen Operation (geht man z. B. zu ihrer Ableitung über), so wird dem eine bestimmte Operation an der Bildfunktion entsprechen. Oder bildet man aus mehreren Originalfunktionen die Summe oder das Produkt oder irgend eine andere Verbindung, so bedeutet dies, dass aus den zugehörigen Bildfunktionen ebenfalls eine bestimmte Verbindung hergestellt wird. — Es handelt sich hier auch um «Korrespondenzen», aber nicht zwischen speziellen Funktionen, sondern zwischen Operationen an Funktionen.