Die Frage der eindeutigen Umkehrbarkeit der Laplace-Transformation

Zusammenfassung

Bisher war ausschliesslich davon die Rede, dass einer Originalfunktion durch die L-Transformation eine Bildfunktion zugeordnet wird, selbstverständlich in eindeutiger Weise. Nun kann man aber die Zuordnung auch in umgekehrter Richtung betrachten, d. h. man kann von einer Bildfunktion ausgehen und fragen, welche Originalfunktionen zu ihr gehören. Die Zuordnung in dieser umgekehrten Richtung sei als L⁻¹-Transformation bezeichnet. Dass diese nicht eindeutig sein kann, ist klar, denn z. B. zwei Originalfunktionen, die sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden, entspricht doch sicher die gleiche Bildfunktion. Ja sogar wenn man zu einer Originalfunktion eine beliebige Nullfunktion n(t) addiert, d. h. eine Funktion, deren bestimmtes Integral mit variabler oberer Grenze identisch verschwindet:

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(1)

so bleibt die Bildfunktion ungeändert, denn durch partielle Integration ergibt sich*)

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also auch

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