Zusammenfassung
Unter einem Kreisbündel auf der Riemannschen Kugel verstehen wir die Gesamtheit der Kreise dieser Kugel, deren Ebenen durch einen beliebigen Punkt M des Raumes hindurchgehen; der Punkt M darf auch im Unendlichen liegen.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Referenzen
Falls das Bündel parabolisch ist, muß P vom gemeinsamen Schnittpunkt aller Kreise des Bündels verschieden sein. Falls das Bündel hyperbolisch ist, soll P nicht auf dem Orthogonalkreis des Bündels liegen.
Vgl. F. Klein, Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion (Springer, Berlin 1932), S. 138ff. — H. Weber und J. Wellstein, Enzyklopädie der Elementarmathematik, Bd. 2 (Teubner, Leipzig 1905), S. 340ff.
Von der Kreisgeometrie in der euklidischen Ebene ausgehend, haben wir eine Geometrie gefunden, bei welcher das elfte Postulat von Euklid nicht gilt. Dieses Postulat kann also nicht aus den übrigen Axiomen bewiesen werden. Dieses Resultat wurde von N. J. Lobatschewsky (1793 bis 1856) und J. Bolyai (1802–1860) kurz vor und nach 1830 veröffentlicht und war auch einige Jahre früher von Gauss entdeckt, aber nicht publiziert worden. Später ist Lobatschewsky zu einem viel vollständigeren Ergebnis gekommen, durch welches erst die fundamentale Bedeutung der nichteuklidischen Geometrie ins rechte Licht gesetzt wird. Er konnte nämlich zeigen, daß aus den gewöhnlichen Axiomen des Euklid, verbunden mit der Annahme, daß mindestens zwei sich schneidende Geraden existieren sollen, die eine dritte Gerade nicht treffen, schon alle Formeln der nichteuklidischen Trigonometrie, die wir in den Ziffern 73 ff. aufgestellt haben, abgeleitet werden können. Lobatschewsky hat damit die « Einzigartigkeit» der nichteuklidischen Geometrie festgestellt.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1950 Springer Basel AG
About this chapter
Cite this chapter
Carathéodory, C. (1950). Euklidische, sphärische und nichteuklidische Geometrie. In: Funktionentheorie. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, vol 8 . Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4120-7_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4120-7_3
Publisher Name: Springer, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-4048-4
Online ISBN: 978-3-0348-4120-7
eBook Packages: Springer Book Archive