Normale Familien von meromorphen Funktionen

Zusammenfassung

Wir betrachten eine Folge {f _n (z)} von Funktionen, die alle in einem Gebiete G meromorph (also chordal stetig) sein sollen. Es sei z ₀ ein Punkt von G, in welchem die Grenzschwankung σ(z ₀) der Folge kleiner als Eins ist. Bezeichnet man dann mit α irgendeine positive Zahl zwischen σ(z ₀) und Eins, so gibt es nach Ziffer 176, S. 172f., eine Umgebung C _k von z ₀, für welche die durch (176.3) definierte Zahl σ _k < α ist. Dann muß die Schwankung S _nk der Funktionen der Folge auf der Punktmenge C _k G für alle Funktionen der Folge mit Ausnahme von höchstens endlich vielen von ihnen ≦ α sein. Man kann nun auf der Riemannschen Kugel einen Kreis C_α mit dem Mittelpunkt z ₀ finden, der erstens im Innern von C _k G liegt und in welchem zweitens auch die Schwankung der zuerst ausgenommenen Funktionen, die ja in endlicher Anzahl und auch stetig sind, nicht größer als α ist. Dann sind alle Funktionen f _n (z) meromorph in C_α, und für jede dieser Funktionen besteht in jedem Punkte von C_α die Relation

$$\chi ({f_n}(z),{f_n}({z_0})) \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} \alpha$$

((181.1))

Nun setze man, für den Fall, daß f _n(z ₀) ≠ ∞ ist,

$${g_n}(z) = \frac{{{f_n}(z) - {f_n}({z_0})}}{{1 + {{\overline f }_n}({z_0}){f_n}(z)}}$$

((181.2))

und für den Fall, daß f _n (z ₀) = ∞ ist,

$${g_n}(z) = \frac{1}{{{f_n}(z)}}$$

((181.3))

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